TRANSFORMADA DISCRETA DE FOURIER - DFT Señales de tiempo contínuo: periódica  Serie de Fourier no periódica  Transf. de Fourier Aparecen problemas cuando la señal tiene una discontinuidad  si x(t) cumple las condiciones de Dirichlet, entonces la sumatoria converge al valor ‘promedio’ de la discontinuidad  1) debe ser absolutamente integrable 2) debe tener un número finito de máximos y mínimos en un período y 3) en un intervalo finito de tiempo hay un número finito de discontinuidades y cada una de ellas debe ser finita. Al truncar la Serie de Fourier (no puede trabajarse con infinitas armónicas), aparece el efecto de Gibbs en forma de sobrepicos en las transiciones. Lo notable es que al aumentar N la amplitud de los mismos no disminuye (es del 9%), sólo se comprimen. Señales de tiempo discreto: como en el caso de señales de tiempo contínuo, interesa conocer la respuesta de los sistemas LTI (caracterizados por su h[n]) a exponenciales complejas  x[n] = zn ; donde z es un número complejo. al valer el principio de superposición, si Por ahora sólo vamos a considerar las exponenciales con z = 1 

å å Secuencias periódicas  x[n] = x[n + N] El conjunto de todas las exponenciales complejas periódicas de período N esta dado por: (sólo N !!) Se quiere representar la secuencia periódica x[n] en término de combinaciones lineales de las secuencias k[n]   Serie de Fourier de tiempo discreto; ak = coeficientes de SF. Considerando que ambos miembros de la ecuación son periódicos, se plantea un sistema de N ecuaciones lineales para los ak. Las ecuaciones son linealmente independientes  se pueden obtener los x[n]. Operando sobre la ec. anterior: puede intercambiarse el orden de las sumatorias, resultando: å n = n x ] [ å × k N j e a / 2 p N n r j e / 2 p × Propiedad útil:  0 sólo para k = r  coeficientes de la Serie de Fourier de tiempo discreto existen sólo N valores de ak distintos a0 = aN y en general ak = ak+N  los N valores a considerars pueden tomarse a partir de un origen arbitrario.

1) Si x[n] es periódica en N  Ejemplos: la secuencia x[n] = sen(0n) será periódica sólo en el caso en que 2/0 sea entero ó una relación de enteros. 1) Si x[n] es periódica en N   a1 = 1/(2j); a-1 = -1/(2j) y los otros ak = 0 2) -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 3) pueden utilizarse para calcular la secuencia original -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 4) 5) onda cuadrada de tiempo discreto -N1 N N1 N-N1 cambio vbles. (m = n + N1) expadiendo la serie y ordenando 

Coeficiente de la Serie de Fourier de la onda cuadrada (Nak) para 2N1+1 = 5; (a) N = 10, (b) N = 20 y (c) N = 40.

1) Si x[n] es periódica en N  Ejemplos: la secuencia x[n] = sen(0n) será periódica sólo en el caso en que 2/0 sea entero ó una relación de enteros. 1) Si x[n] es periódica en N   a1 = 1/(2j); a-1 = -1/(2j) y los otros ak = 0 2) -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 3) pueden utilizarse para calcular la secuencia original -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 4) 5) onda cuadrada de tiempo discreto -N1 N N1 N-N1 cambio vbles. (m = n + N1) expadiendo la serie y ordenando  en el caso inverso

Reconstrucciones parciales de la onda cuadrada con N = 9 y 2N1+1 = 5; (a) M = 1, (b) M = 2; (c) M = 3 y (d) M = 4.

1) Si x[n] es periódica en N  Ejemplos: la secuencia x[n] = sen(0n) será periódica sólo en el caso en que 2/0 sea entero ó una relación de enteros. 1) Si x[n] es periódica en N   a1 = 1/(2j); a-1 = -1/(2j) y los otros ak = 0 2) -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 3) pueden utilizarse para calcular la secuencia original -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 4) 5) onda cuadrada de tiempo discreto -N1 N N1 N-N1 cambio vbles. (m = n + N1) expadiendo la serie y ordenando  en el caso inverso NO APARECE EL FENOMENO DE GIBBS Sólo se necesita un número FINITO de coeficientes para representar la secuencia

Secuencias aperiódicas x[n] es en general de duración finita  x[n] = 0 si n > N1 Puede construirse una secuencia periódica para la cual x[n] es un período, con lo cual se puede aplicar la SFTD ] [ ~ n x y se define X() como la envolvente de Nak.  Transformada de Fourier de tiempo discreto contínua puede expandirse en SF periódica haciendo las analogías: T0  2 y , entonces 2/T0 = 1  y x[n] = a-k ; resultando: n   coeficientes de la Transformada de Fourier de tiempo discreto Las relaciones siguen siendo válidas si la duración de la secuencia es infinita  x[n] debe ser absolutamente sumable, , ó si tiene energía finita

2) Encontar la secuencia que cuya transformada es X() = cos() Ejemplos: 1) Sean las secuencias x[n] = (1/2)n[n]; y[n] = (-1/2)n[n]. Encontrar y comparar sus transformadas. Modulo X() Y() 0.67   2 2 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 -0.5 0.5 n y[n] x[n] 2) Encontar la secuencia que cuya transformada es X() = cos() Propiedad útil: de acuerdo a la propiedad, la integral sólo sera  0 para n  1  x[n] = 0.5· [n-1] + 0.5· [n+1]

Propiedades de la DTFT (Transformada de Fourier de tiempo discreto) Periodicidad: siempre es periódica en , con período 2. Linealidad: x1[n] X1() y x2[n] X2(),  a·x1[n] + b·x2[n] a·X1() + b·X2() . F Simetría: si x[n] es real  X() = X*()  módulo par, fase impar. Si x[n] es real y par, X() también lo es. Desplazamientos: x [n] X ()  x1[n - n0] ; X( - 0) F en el caso de la DFT los desplazamientos NO SON LINEALES, son CIRCULARES.. Diferenciación y sumatoria: F F å ¥ -¥ = - W + k X ) 2 ( p d Escalamiento en tiempo y frecuencia: difiere del caso de tiempo contínuo. Recordar diezmado e interpolación Diferenciación en frecuencia: F Relación de Parseval: para secuencias periódicas: Convolución: lo trataremos al ver convolución y correlación discretas.

Transformada Discreta de Fourier Sea una secuencia periódica de la cual x[n] es un período, ] [ ~ n x M arbitrario. Puede demostrarse que donde los ak son los coeficientes de la SF de y X() es la TF de x[n] ] [ ~ n x Nak corresponde a muestras de la TF de un período. La relación se cumple, independientemente del M elegido. Ejemplo: -N N 2N x[n] ~ para 0  n  N-1 -N N 2N x1[n]=[n] ) ( 2 ? 1 W ¹ X -N N 2N x2[n]=[n-N] sólo hay que analizar en k = 2k/N y en esos valores X1() = X2()  no importa el M . 0  n  N-1 ; 0  k  N-1  Transformada Discreta de Fourier mismo algoritmo!!

Desarrollo gráfico de la Transformada Discreta de Fourier