Práctica 4-5 Métodos Directos e Iterativos para Sistemas de Ecuaciones Lineales

Sistemas de Ecuaciones Lineales  La Ecuación del Calor  Métodos directos  Método de Eliminación de Gauss  Métodos iterativos  Método de Jacobi  Método de Gauss-Seidel  Método de Sobrerrelajación

Ecuación del Calor  Modelo matemático  Matriz asociada T 0 T 1 T 2...T n T n+1

Teorema de Rouché- Frobenius  El sistema A mn x = b es compatible si y sólo si rango(A) = rango(A|b)  Un sistema compatible es determinado sii rango(A) = n  Un sistema compatible indeterminado tiene n – rango(A) variables libres  Solución x c = x p + núcleo(A)

Eliminación de Gauss Operaciones elementales  Eliminar fila i tomando la fila k como pivote  l ik = a ik / a kk, a ij = a ij  l ik * a kj  A(i,:) = A(i,:) - L(i,k)*A(k,:);  Escalar fila i dividiéndola por el pivote a ii s a ij = a ij / a ii  A(i,:) = A(i,:)/A(i,i);  Permutar las filas i y k s a ik a ki s A([i,k],:) = A([k,i],:);

 Sistema inicial  Triangularización  Sustitución regresiva Fases de la eliminación Ax = b Ux = c x = A –1 b

Temperatura en una barra  Nodos n = 4  Condiciones de contorno T 0 =20 T 5 =70  Sistema lineal 20T 1 T 2 T 3 T 4 70

Resolución del sistema

Eliminación en sistemas lineales tridiagonales Ax = b n = length(b); M = [A,b]; for i=1:n-1 M(i,:) = M(i,:)/M(i,i); M(i+1,:) = M(i+1,:)- M(i+1,i)*M(i,:);end M(n,:) = M(n,:)/M(n,n);

Eliminación en sistemas lineales tridiagonales Ax = b for i = n-1:-1:1 M(i,:) = M(i,:)- M(i,i+1)*M(i+1,:); end x = M(:,n+1);

Limitaciones de los Métodos Directos  Acumulación del error de redondeo  Coste de la eliminación: O(n 3 )  Sensibilidad al error de redondeo  Sistemas mal o bien condicionados  Número de condición  Estrategia de Pivotación Parcial  Llenado de la matriz  Matrices dispersas

Número de condición de una matriz  cond mide el mal condicionamiento cond(eye(n))=1 cond(matsingular) = inf  rcond mide el buen condicionamiento rcond(eye(n))=1 rcond(matsingular) = 0  rcond y det

Pivotación parcial  Un algoritmo deficiente puede arruinar un sistema bien condicionado.  Estrategia: Elegir como pivote el elemento de mayor valor absoluto del resto de la columna.  El operador \ para resolver Ax = b

Métodos Iterativos para Sistemas de Ecuaciones Lineales

Métodos directos frente a métodos iterativos DIRECTOS  Ax =b  x = A\ b  Tamaño moderado  Producen llenado  Error de redondeo ITERATIVOS  Mx = (M  A)x + b  Mx (k+1) = (M  A) x (k) + b  Tamaño grande  Conservan los ceros  Error de truncamiento

Convergencia y número de operaciones  Coste (para matrices densas) Directos: n 3 Iterativos: k.n 2 Directos: n 3 Iterativos: k.n 2  Convergencia  Criterio de parada   iter < maxiter

Ecuación del Calor en un rectángulo T C = (T W + T N + T S + T E )/4 C C N N E E W W S S –1 4 4 Molécula

Generación de la matriz con MATLAB function A = calor2D(n,m) p = n*m; v = ones(1,p-1); for k = n:n:p-n, v(k) = 0; end w = ones(1,p-n); A = 4*eye(p)... - diag(v,1) - diag(v,-1)... - diag(w,n) - diag(w,-n);

Un lado caliente

El método de Jacobi  Sistema de ecuaciones lineales

Iteración de Jacobi

 A = L + D + U  M = D, N = – (L + U)  Mx = Nx + b Expresión matricial » M = diag(diag(A)) » N = M-A » x = M\(Nx 0 +b)

Algoritmo de Jacobi  Datos  Sistema lineal:Ax = b  Estimación inicial: x 0  Proceso: mientras no converja, repetir  Nueva estimación: x = D –1 ((D – A)x 0 + b)  Incremento:norm(x – x 0 )  Actualizar:x 0 = x  Resultado  Estimación final:x

Iteración de Gauss-Seidel

 A = L + D + U  M = L + D, N = –U  Mx = Nx + b Expresión matricial » M = tril(A) » N = M - A » x = M\(N*x 0 + b)

 Gauss-Seidel   Sobrerrelajación   Método de sobrerrelajación xikxik zizi x i k+1 i k+1

Expresión matricial   

Algoritmo de sobrerrelajación » D = diag(diag(A)) » L = tril(A,-1) » M = L + D/  » N = M - A » x = M\(N*x 0 + b)

Condiciones de convergencia  Para que un método iterativo converja, la matriz ha de cumplir ciertas condiciones.  El coste por iteración es O(n 2 ) o menor si se aprovecha la dispersidad.  Se espera que converjan en menos de n pasos.  Los métodos iterativos se aplican a matrices grandes y dispersas.