APLICACIONES DE LAS DERIVADAS Tema 8 * 2º B CS @ Angel Prieto Benito Apuntes 2º Bachillerato CS

PROBLEMAS DE OPTIMIZACIÓN Tema 8.3 * 2º B CS @ Angel Prieto Benito Apuntes 2º Bachillerato CS

PROBLEMAS DE OPTIMIZACIÓN En el campo científico, económico, social o político, nos encontramos con funciones que hay que OPTIMIZAR, es decir hallar los puntos máximos y/o mínimos. FUNCIÓN ( ECUACIÓN ) PRINCIPAL Es aquella que el enunciado nos señala que su valor debe ser el mayor posible (Máximo) o el menor posible (Mínimo). Si presenta una sola incógnita, y = f(x), se deriva la expresión respecto de la misma y la derivada se iguala a cero. Resolviendo la ecuación resultante tendremos el valor de ‘x’ para el cual el valor de la función, el valor de ‘y’ , es máximo o mínimo. FUNCIÓN ( ECUACIÓN ) AUXILIAR Tenemos que obtener del enunciado tantas ecuaciones auxiliares como incógnitas menos una. Despejando y sustituyendo, al final tendremos que tener una sola ecuación , la principal, con una sóla incognita. Derivamos respecto de dicha incógnita e igualamos a cero la expresión derivada. Resolviendo la ecuación habremos encontrado el valor o valores de las incógnitas para los cuales la función presenta un valor máximo o mínimo relativo. @ Angel Prieto Benito Apuntes 2º Bachillerato CS

Apuntes 2º Bachillerato CS Ejemplo_1: Hallar dos números tales que su suma sea 24 y su producto sea el mayor posible. Resolución: Sean x e y los dos números pedidos. Ecuación Principal: Producto: P = x.y ( dos incógnitas) Ecuación Auxiliar : Suma: 24 = x + y Despejamos “y” de la E. Auxiliar: y = 24 - x Sustituimos su valor en la E. Principal : P = x. (24-x) O sea P = 24.x – x2 , derivamos e igualamos a cero P´ = 24 – 2.x = 0 ; y resolvemos: 24 = 2x  x = 12  Como y = 24 – x = 24 – 12 = 12  x= y = 12 es la solución. @ Angel Prieto Benito Apuntes 2º Bachillerato CS

Apuntes 2º Bachillerato CS Ejemplo_2: Una alambrada de 100 m rodea a una finca rectangular bordeada por un río. Hallar sus dimensiones sabiendo que la superficie que abarca es la mayor posible. Resolución: Sean l y a el largo y el ancho de la finca. Ecuación Principal: Superficie: S = l.a ( dos incógnitas) Ecuación Auxiliar : Alambrada: 100 = l+2a Despejamos “l” de la E. Auxiliar: l = 100 – 2.a Sustituimos su valor en la E. Principal : S = (100-2.a).a O sea S = 100.a – 2.a2 derivamos e igualamos a cero S´ = 100 – 4.a = 0 ; 100 = 4.a a= 100/4 = 25  l = 100 – 2.a l =100 – 50 = 50 m Solución: a=25 m, l = 50 m Superficie= 25.50 = 1250 m2 a a l @ Angel Prieto Benito Apuntes 2º Bachillerato CS

Apuntes 2º Bachillerato CS Ejemplo_3: Hallar las dimensiones que debe tener un rectángulo inscrito en una circunferencia de 5 cm de radio para que el área del mismo sea el mayor posible. Resolución: Rectángulos inscritos en una determinada circunferencia hay infinitos, pero sólo uno de ellos tendrá un área mayor que los demás. Ecuación Principal: Area  A = a.b ( hay dos incógnitas, a y b ) Ecuación Auxiliar : 102 = a2 + b2 por Pitágoras. Ø=10 b a El diámetro, que es el doble del radio, es siempre la diagonal de cualquier rectángulo inscrito en la circunferencia. @ Angel Prieto Benito Apuntes 2º Bachillerato CS

Apuntes 2º Bachillerato CS Continuación del Ejemplo_3: Despejamos “a” de la E. Auxiliar: a = √ ( 100 – b2 ) Sustituimos su valor en la E. Principal : A = b. √ ( 100 – b2 ) Introducimos b dentro de la raíz para facilitar la derivada: A= √ ( 100.b2 – b4 ) = ( 100.b2 – b4 )1/2 derivamos e igualamos a cero A’ = (1/2). ( 100.b2 – b4 )1/2 - 1 .(200.b - 4.b3 ) = 0 ; o sea: (200.b - 4.b3) / 2. ( 100.b2 – b4 )1/2 = 0 200.b – 4.b3 = 0  Factorizado  4.b.(50 – b2) = 0 O sea 4.b.(7,07 + b).(7,07 – b) = 0 b= 0 NO vale, b=- 7,07 NO vale , b = 7,07 Vale como solución a = √ ( 100 – b2 ) = √ ( 100 – 50 ) = 7,07 = a  CUADRADO @ Angel Prieto Benito Apuntes 2º Bachillerato CS

Apuntes 2º Bachillerato CS Ejemplo_4: Una hoja de papel de plata debe contener 18 cm2 de texto impreso. Los márgenes superior, inferior, izquierdo y derecho deben ser de 2 cm, 2 cm, 3 cm y 1 cm respectivamente. Determinar las dimensiones de la hoja para tener el menor gasto de papel. Resolución: Sean x = ancho texto impreso e y= largo del texto impreso Ecuación Principal: S = (3+x+1).(2+y+1) Ecuación Auxiliar: x.y = 18 Despejamos y: y = 18 / x La sustituimos en la ecuación principal: S = (x+4).(y+3) = (x+4).( 3 + 18/x) S = 3.x + 12 + 18 + 72 / x S´ = 3 + 0 + 0 – 18 / x2 = 0 3 = 18 / x2  x2 = 18 / 3 = 6 x = √ 6  y = 18 / √ 6 = 3. √ 6 3+x+1 x.y=18 2+y+2 @ Angel Prieto Benito Apuntes 2º Bachillerato CS

Apuntes 2º Bachillerato CS Ejemplo_5: En un almacén se guardan 10.000 kg de limones, que se han comprado a 5 €/kgr. Debido a las malas condiciones cada semana que pasa sin venderlos se estropean 50 kg; pero el precio se incrementa en 0,10 €/kg ¿Cuántos semanas debe esperar para obtener el máximo beneficio?. ¿A qué cantidad asciende?. Resolución: Sean x las semanas que debe esperar. B = Precio venta – Precio compra. B = (10000 – 50x).(5 + 0,10.x) – 10000.5 B = 50000 – 250x + 1000x – 5x2 – 50000 B = – 5x2 + 750x  Derivando: B’ = – 10x + 750 = 0 De donde x = 750 / 10 = 75 semanas Tendrá: 10000 – 50.75 = 10000 – 3750 = 6250 kg Valdrán: 5 + 0,10.75 = 5 + 7,5 = 12,5 €/kg Ganará: 6250.12,5 – 10000 .5 = 78125 – 50000 = 28125 € @ Angel Prieto Benito Apuntes 2º Bachillerato CS

Apuntes 2º Bachillerato CS Ejemplo_6: Con un alambre de 1 m de longitud hemos formado un cuadrado y un círculo. ¿Qué dimensiones deben tener dichas figuras para que la suma de sus áreas sea lo mayor posible?. Resolución: Sea a el lado del cuadrado. Sea r el radio del círculo. Ecuación Principal: Suma de Áreas: S = a2 + π.r2 (dos incógnitas) Ecuación Auxiliar: Suma de Perímetros 1 = 4 a + 2 π r Despejamos a: a = (1 – 2 π r ) / 4 = 0,25 – 0,5 π r La sustituimos en la ecuación principal: S = (0,25 – 0,5 π r)2 + π.r2 S = 0’0625 – 0’25.π.r + 0,25.π2 r2 + π.r2 ; que derivando queda: S’ = – 0’25.π + 0,50.π2 r + 2π.r = 0 ,, 3,57.π.r = 0’25.π  r = 0,07 m Como a = 0’25 – 0,50.3,1416.0,07 = 0,14 Comprobando perímetros: P = 4.0,14 + 2.3,1416.0,07 = 0,56 + 0,44 = 1 @ Angel Prieto Benito Apuntes 2º Bachillerato CS

Apuntes 2º Bachillerato CS Ejemplo 7 En un rectángulo de 40 x 60 cm inscribimos otro rectángulo. ¿Cuáles deben ser las dimensiones de este segundo rectángulo para que su perímetro sea el menor posible?. Resolución parcial: Las rectas que forman los dos lados diferentes deben ser perpendiculares para que sea un rectángulo. Coordenadas de los puntos que forman las rectas: P1(0 , p) , P2(40 – q , 0) y P3(60 , q) Los cuatro triángulos formados entre ambos rectángulos son semejantes. 60 60 – p p q P2 40 – q P1 40 P3 @ Angel Prieto Benito Apuntes 2º Bachillerato CS