INTERPOLACIÓN CUADRÁTICA DÍA 25 * 1º BAD CS

INTERPOLACIÓN CUADRÁTICA Sea la Tabla: X Y 1 2 3 10 5 26 Si nos dan tres puntos, calculamos las pendientes: m=(10-2)/(3-1)= 8/2 = 4 m=(26-10)/(5-3)=16/2 = 8 Las pendientes no coinciden.  NO hay Interpolación lineal. Debe pues hacerse una interpolación cuadrática. Interpolación cuadrática: Su forma será: f(x) = a.x2 + b.x + c Y hallaríamos “a”,”b” y “c” resolviendo el sistema: 2 = a.12 + b.1 + c 10 = a.32 + b.3 + c 26 = a.52 + b.5 + c , por el Método de Gauss a + b + c = 2 9.a + 3.b + c= 10 25.a + 5.b + c = 26 - 6.b – 8.c = - 8 - 20.b – 24.c = - 24 - 2.b = 0  b = 0  c = 1  a = 1 f(x) = x2 + 1 es la función de interpolación.

INTERPOLACIÓN CUADRÁTICA Sea la Tabla: X Y 1 2 3 10 5 26 Si nos dan tres puntos, calculamos las pendientes: m=(10-2)/(3-1)= 8/2 = 4 m=(26-10)/(5-3)=16/2 = 8 Las pendientes no coinciden.  NO hay Interpolación lineal. Debe pues hacerse una interpolación cuadrática. m=8 m=4

INTERPOLACIÓN CUADRÁTICA Sea la Tabla: X Y 1 1 3 9 5 25 7 49 Si nos dan más de DOS puntos, calculamos las pendientes: m=(9-1)/(3-1)= 8/2 = 4 m=(25-9)/(5-3)=16/2 = 8 Las pendientes no coinciden.  NO hay Interpolación lineal. Debe pues hacerse una interpolación cuadrática. Al darnos más de tres puntos en la Tabla, veamos si existe Interpolación Cuadrática: y  1 9 25 49 Δy  8 16 24 Δ2y  8 8 Vemos que Δ2y = 8 = Cte Si Δx=Cte e Δ2y =Cte  F. Cuadrática Su forma será: f(x) = a.x2 + b.x + c Y hallaríamos “a”,”b” y “c” resolviendo el sistema: 1 = a.12 + b.1 + c 9 = a.32 + b.3 + c 25 = a.52 + b.5 + c , por el Método de Gauss

Hallamos “a”,”b” y “c” resolviendo el sistema: 1 = a.12 + b.1 + c 9 = a.32 + b.3 + c 25 = a.52 + b.5 + c , por el Método de Gauss a + b + c = 1 9.a + 3b + c = 9 25.a + 5b + c = 25 A la (2) la quito 9 veces la (1) A la (3) la quito 25 veces la (1) - 6.b – 8.c = 0 - 20.b – 24.c= 0 A la (3) la quito 3 veces la (2) - 2.b = 0 Y obtengo b=0 Si b=0  En la (2): c= 0 Si b=0 y c=0  En la (1): a=1 Luego la función interpoladora cuadrática será: f(x) = a.x2 + b.x + c f(x) = x2 Interpolamos: f(4) = 42 = 16 Extrapolamos: f(8) = 82 = 64

Ejemplo: Sea la población de Valladolid a lo largo de los últimos 10 años, dado en forma de tabla y en miles de habitantes. Año 1992 1994 1996 1998 2000 Habitantes 360 365 375 390 410 Miramos si hay interpolación lineal: m=(365-360)/(1994-1992)=5/2=2,5 m=(375-365)/(1996-1994)=10/2=5 Las pendientes no coinciden.  No hay interpolación lineal. Estaríamos frente a una INTERPOLACIÓN CUADRÁTICA. Comprobamos: Δx = 2 = Cte. y  360 365 375 390 410 Δy  5 10 15 20 Δ2y  5 5 5 Vemos que Δ2y = 5 = Cte Si Δx=2=Cte e Δ2y =5=Cte  F. Interpolación Cuadrática f(x) = a.x2 + b.x + c

… Ejemplo: Como Δx=2=Cte e Δ2y =5=Cte  F. Interpolación Cuadrática f(x) = a.x2 + b.x + c  Tomamos tres puntos cualesquiera: A(1992,360) , B( 1994, 365 ) y C (2000,410) Resolvemos el sistema: 360 = a.19922 + b. 1992 + c 366 = a.19942 + b. 1994 + c 410 = a.20002 + b. 2000 + c 6 = (19942 - 19922).a + 2.b = 7972.a + 2.b  18 = 23916.a + 6.b 44 = (20002 - 19942).a + 6.b = 23964.a + 6.b  44 = 23964.a + 6.b que nos da: 26 = 48.a  a = 0,5416 ; b = - 2156,08 ; c = 2145903,36 quedando la función: f(x) = 0,5416.x2 - 2156,08.x + 2145903,36 que nos dará en todo momento el número de habitantes de Valladolid en cualquier año entre 1992 y 2000, sin mas que sustituir la “x” de la función por el año correspondiente.

ESTRATEGIA A SEGUIR PARA COEFICIENTES MUY GRANDES: c + 1992.b + 19922 .a = 360 c + 1994.b + 19942 .a = 366 c + 2000.b + 20002 .a = 410 Cambio: 1992  2 ,, 1994  4 Queda: c + 2.b + 22 .a = 360 c + 4.b + 42.a = 366 c + 10.b + 102.a = 410 Resolvemos por Gauss: c + 2.b + 4 .a = 360  c + 2.b + 4 .a = 360 2.b + 12.a = 6  2.b + 12 .a = 6 8.b + 96.a = 50  48.a = 26 De donde a=26/48 = 0,5416, b= -0,2500; c= 358,3333 La función de interpolación cuadrática es: f(x) = 0,5416.x2 – 0,2500.x + 358,3333 Hallar, por ejemplo, f(1997) sería hallar f(7) Antes Ahora 1992  2 1994  4 1996  6 1998  8 2000  10