Triángulos II Prof. Isaías Correa M.

Aprendizajes esperados: Analizar en el triángulo rectángulo, los teoremas de Pitágoras y Euclides. Aplicar los diferentes teoremas y propiedades de los triángulos en la resolución de ejercicios. Calcular áreas y perímetros de triángulos.

Contenidos Teoremas válidos para triángulos rectángulos 1.1 Teorema de Pitágoras 1.2 Teorema de Euclides 2. Relaciones métricas en el triángulo rectángulo 2.1 Triángulo de ángulos interiores iguales a: 30°, 60° y 90° 2.2 Triángulo rectángulo isósceles 2.3 Triángulo rectángulo y transversal de gravedad

3. Triángulo equilátero 4. Triángulos isósceles 3.1 Definición 3.2 Propiedades 4. Triángulos isósceles 4.1 Definición 4.2 Propiedades

1. Teoremas válidos para Triángulos rectángulos Sea ABC triángulo rectángulo en C, entonces: El lado opuesto al ángulo recto, AB, es llamado “HIPOTENUSA” , y los lados AC y BC, “CATETOS”. hipotenusa cateto cateto

1.1 Teorema de Pitágoras (cateto1)2 +(cateto2 )2 =(Hipotenusa)2 En todo triángulo rectángulo, la suma de los cuadrados de los catetos, es igual al cuadrado de la hipotenusa. (cateto1)2 +(cateto2 )2 =(Hipotenusa)2 a2 + b2 = c2 ó

152 + (QR)2 = 252 225 + (QR)2 = 625 (QR)2 = 625 - 225 (QR)2 = 400 Ejemplo: De acuerdo a los datos de la figura, el trazo QR mide 152 + (QR)2 = 252 (Aplicando teorema de Pitágoras) 225 + (QR)2 = 625 (Desarrollando) (QR)2 = 625 - 225 (Despejando (QR)2 ) (QR)2 = 400 (Restando) QR = 20 (Aplicando raíz)

Números pitagóricos: Son aquellos tríos de números que cumplen el teorema de Pitágoras. Los más utilizados son: 3, 4 y 5 5, 12 y 13 Estos tríos, además de satisfacer el teorema de Pitágoras, generan “familias” de números pitagóricos, que corresponden a todos los tríos proporcionales a ellos. Por ejemplo: 3, 4 y 5 5, 12 y 13 6, 8 y 10 10, 24 y 26 15, 36 y 39 9, 12 y 15 20, 48 y 52 12, 16 y 20 . . . . . . . .

Todos los tríos proporcionales a: 3, 4 y 5, satisfacen el Teorema de Pitágoras. 32 + 42 = 52 62 + 82 = (10)2 92 + 122 = (15)2

Consideremos los siguientes casos: 1. Cuando un cateto es el doble del otro Ejemplo: 2. Cuando un cateto es el triple del otro Ejemplo:

1.2 Teorema de Euclides Sea ABC un triángulo rectángulo en C, y CD = hc, la altura sobre la hipotenusa, entonces: ∙ hc2 = p q a2 = c q ∙ b2 = c p ∙ Además, se cumple que: hc = a·b c

De acuerdo a la figura, los segmentos CD y AC miden: Ejemplo: De acuerdo a la figura, los segmentos CD y AC miden: Aplicando Teorema de Euclides: CD2 = AD DB ∙ (Reemplazando) CD2 = 4 3 ∙ (Aplicando raíz) CD = 4 3 ∙ CD = 2 3

Además, por Euclides se cumple que: AC2 = AB AD ∙ (Reemplazando) AC2 = 7 4 ∙ (Aplicando raíz) AC = 2 7 2 7 2 3

2. Relaciones Métricas en el triángulo rectángulo 2.1 Triángulo de ángulos interiores: 30°, 60° y 90° En el triángulo rectángulo, con ángulos agudos de 30° y 60° se cumple que:

Ejemplo: Determinar el área del triángulo ABC de la figura. 5 30° 5 3  BAC = 30°  CB = 5 y AB = 5 3 El área del triángulo ABC es: Área = 5 5 3 2 ∙ = 25 3 2

Los triángulos con ángulos interiores de 30°, 60° y 90°, corresponden a la “mitad” de un triángulo equilátero.

2.2 Triángulo rectángulo isósceles En el triángulo rectángulo isósceles de lado “a” de la figura, se cumple que: A C B Ejemplo: En la figura, determinar la medida del lado BC (hipotenusa). A C B Solución: 4 2 4  CBA = 45°  AC = 4 y 45° BC = 4 2 

2.3 Triángulo rectángulo y transversal de gravedad Si M es punto medio de AB, entonces: AM = MB = CM tc : transversal

Ejemplo: Si en la figura, CD es transversal de gravedad, determine el  DCB. 40° 40° Solución: Completando los ángulos,  CBA = 40° Si CD es transversal de gravedad,  D es punto medio  AD = DB = CD  El triángulo CDB es isósceles de base BC   CBA =  DCB Por lo tanto,  DCB = 40°

3. Triángulo Equilátero 3.1 Definición Polígono regular, ya que tiene sus tres lados y ángulos iguales. AB = BC = CA

3.2 Propiedades Las alturas, transversales, bisectrices y simetrales, son iguales. ha = hb= hc ta = tb= tc ba = bb= bc Sa = Sb= Sc Además: ha = ta= ba = Sa hb = tb= bb = Sb hc = tc= bc = Sc Por lo tanto, el ortocentro, centro de gravedad, incentro y circuncentro coinciden.

Área y altura de un triángulo equilátero: Sea ABC un triángulo equilátero de lado “a”, entonces su área y altura se expresan como: A = a2 3 4 h = a 3 2 Ejemplo: Determine el área de un triángulo equilátero, cuya altura mide 3 3. Para determinar el área, basta conocer el lado del triángulo.

A partir de la altura determinaremos el lado. Sea x la medida del lado, entonces: h = x 3 2 3 3 = x 3 2 3 = x 2 6 = x Como el lado del triángulo mide 6 cm, su área será: A = 62 3 4 A = 36 3 4  A = 9 3  cm2

Relación entre el triángulo equilátero Relación entre el triángulo equilátero y la circunferencia circunscrita: h = r + r 2  h = 3r 2

Relación entre el triángulo equilátero y la circunferencia inscrita: h = 3r

4. Triángulo Isósceles 4.1 Definición 4.2 Propiedades Es aquel que tiene dos lados iguales y una “base”. Los ángulos basales son iguales. 4.2 Propiedades La altura, transversal, bisectriz y simetral que caen en la base, coinciden.

Si el triángulo es isósceles en B, entonces la base es AC. Ejemplo: En la figura, el triángulo ABC isósceles en B y D punto medio de AC. Determine la medida del ángulo x. Si el triángulo es isósceles en B, entonces la base es AC. 90° = 50° 40° Si D: punto medio, entonces BD es transversal.  BD es altura, bisectriz y simetral.  DBA = 40° y ADB = 90°  x= 50°