VII Olimpiada Thales
Solución Menú Racionando: Determina tres puntos racionales X, Y, Z que verifiquen la siguiente condición: 3(2X+1) 2 + 5(X-Y) 2 + 7(X+Y-Z) 2 = 0
Menú Enunciado Solución:Estamos ante una ecuación racional con tres incógnitas X, Y, Z. La ecuación está formada por tres sumandos y el resultado de la operación es cero (0). ¿serías capaz de determinar, sin hacer cálculos, el signo de cada uno de los sumandos? Piensa un poco. 3(2X+1) 2 + 5(X-Y) 2 + 7(X+Y-Z) 2 = 0
Menú Enunciado Solución:Los tres sumandos tienen una estructura muy parecida: una expresión elevada al cuadrado y multiplicada por un número positivo. Al elevar una expresión al cuadrado, su signo es positivo o cero. Y si la multiplicamos por un número positivo, sigue siendo positiva o nula. Entonces, tenemos tres expresiones positivas o nulas cuya suma es 0. ¿Cómo es posible esta situación? 3(2X+1) 2 + 5(X-Y) 2 + 7(X+Y-Z) 2 = 0
Menú Enunciado Solución:La única solución posible es que cada uno de los sumandos sea cero (0). Vamos, por tanto, a resolver cada una de las subecuaciones que resultan: 2X + 1 = 0 X - Y = 0 X + Y - Z= 0 3(2X+1) 2 + 5(X-Y) 2 + 7(X+Y-Z) 2 = 0
Menú Enunciado Solución: Para calcular el valor de X, despejamos esta incógnita de la primera ecuación; veámoslo: 2X + 1 = 0 X - Y = 0 X + Y - Z= 0 3(2X+1) 2 + 5(X-Y) 2 + 7(X+Y-Z) 2 = 0
Menú Enunciado Solución: Para calcular el valor de Y, sustituimos el valor de X en la segunda ecuación... 2X + 1 = 0 X - Y = 0 X + Y - Z= 0 3(2X+1) 2 + 5(X-Y) 2 + 7(X+Y-Z) 2 = 0
Menú Enunciado Solución: Hallemos por último el valor de Z: 2X + 1 = 0 X - Y = 0 X + Y - Z= 0 3(2X+1) 2 + 5(X-Y) 2 + 7(X+Y-Z) 2 = 0
Menú Enunciado Solución:... Y ya hemos terminado. 3(2X+1) 2 + 5(X-Y) 2 + 7(X+Y-Z) 2 = 0 Los números buscados son X =, Y =, Z = -1.