Tema 14 DISTRIBUCIÓN BINOMIAL @ Angel Prieto Benito Matemáticas Aplicadas CS I

Tema 10.7 * 1º BCS MEDIA Y DESVIACIÓN TÍPICA EN LA BINOMIAL @ Angel Prieto Benito Matemáticas Aplicadas CS I

Matemáticas Aplicadas CS I MEDIDAS ESTADÍSTICAS MEDIA μ = n.p En nuestros EJEMPLOS RESUELTOS 1 y 2: μ = n.p = 20.0,5 = 10 para la moneda μ = n.p = 20.0,167 = 3,34 para el dado DESVIACIÓN TÍPICA σ = √(n.p.q) σ = √(n.p.q) = √ 20.0,5.0,5 = √5 = 2,24 para la moneda σ = √(n.p.q) = √ 20.0,167.0,833 = √2,77 = 1,67 para el dado @ Angel Prieto Benito Matemáticas Aplicadas CS I

Ejercicios propuestos Ejemplo 1 En una reunión hay 40 hombres y 60 mujeres. Se elige una persona al azar, anotando el sexo de dicha persona. Se repite el experimento 30 veces. Hallar la media y la desviación típica, suponiendo el resultado de salir hombre como éxito. Ejemplo 2 Un cazador tiene una probabilidad de 0,65 de acertar a una pieza en cada disparo. Si realiza 20 disparos, hallar la media y la desviación típica. Ejemplo 3 Una máquina produce 32 tornillos defectuosos cada 1000 unidades. Al realizar un control de calidad tomamos una caja de 50 tornillos. Hallar la media y la desviación típica, suponiendo el resultado de no ser defectuoso como éxito. @ Angel Prieto Benito Matemáticas Aplicadas CS I

Matemáticas Aplicadas CS I AJUSTE A UNA BINOMIAL Tema 14.8 * 1º BCS @ Angel Prieto Benito Matemáticas Aplicadas CS I

Matemáticas Aplicadas CS I AJUSTE A UNA BINOMIAL Las muestras que se obtienen de una población para investigar un fenómeno se estudian a través de una distribución estadística. Cuando se tenga cierta seguridad de que el fenómeno se rige por las características binomiales, se puede modelizar, ajustar la distribución de probabilidad discreta a una binomial. _ _ Para ello: n.p = x  obteniendo p, ya que p = x / n Pero no siempre se puede realizar tal ajuste, o mejor dicho, no siempre es viable por darnos datos muy alejados de los reales. @ Angel Prieto Benito Matemáticas Aplicadas CS I

Matemáticas Aplicadas CS I Ejemplo_0 Se lanzan cuatro dados (no sabemos si son correctos o no) y se cuenta el números de treses obtenido en cada lanzamiento. En 1000 lanzamientos los resultados han sido los siguientes: ¿Se ajustan estos datos a una binomial?. Hallamos las frecuencias relativas. Podemos suponer que existe una distribución binomial B(4, p) que nos da la probabilidad de r = 0, 1 , 2 , 3 y 4 aciertos. O sea, un suceso con una probabilidad p de éxito se repite 4 veces. Habrá que calcular el valor de p y luego ver si las distintas probabilidades calculadas se aproximan a las frecuencias relativas dadas para validar o no el ajuste realizado Nº de treses 1 2 3 4 Lanzamientos 490 381 112 15 x 1 2 3 4 fr 0,490 0,381 0,112 0,015 0,002 @ Angel Prieto Benito Matemáticas Aplicadas CS I

Matemáticas Aplicadas CS I … Ejemplo_0 La media muestral de la distribución discreta dada será: x =∑x.f / ∑.f = (0.490+1.381+2.112+3.15+4.2)/ 1000 = 0,658 Como μ = n.p , 0,658 = 4.p , de donde p = 0,1645 La binomial B(4 , 0’1645) es la del mejor ajuste. Calculamos P(x=0), P(x=1), P(x=2), P(x=3) y P(x=4) Por tablas: 0,5220 , 0,3685 , 0,0975 , 0,0115 y 0,0005 Que multiplicando por 1000 queda: 522 , 369 , 96 , 12 y 1 Comparando con las reales: 490 , 381 , 112 , 15 y 2 Se puede aceptar tal ajuste. x 1 2 3 4 fr 0,490 0,381 0,112 0,015 0,002 @ Angel Prieto Benito Matemáticas Aplicadas CS I

Matemáticas Aplicadas CS I Ejemplo_1 En un control de calidad efectuado sobre 1000 piezas en una fábrica, para detectar defectos, se ha anotado lo siguiente: Los resultados son 0 fallos, 1 fallo, 2 fallos y 3 fallos. Podemos suponer que existe una distribución binomial B(3, p) que nos da la probabilidad de r = 0, 1 , 2 y 3 fallos. O sea, un suceso con una probabilidad p de éxito se repite 3 veces. Habrá que calcular el valor de p y luego ver si las distintas probabilidades calculadas se aproximan a las frecuencias relativas dadas para validar o no el ajuste realizado La media muestral de la distribución discreta dada será: x =∑x.f / ∑.f = (0.292+1.421+2.250+3.37)/ 1000 = 1,032 Como μ = n.p , 1,032 = 3.p , de donde p = 0,35 La binomial B(3, 0,35) es la del mejor ajuste. x 1 2 3 Total f 292 421 250 37 1000 fr 0,292 0,421 0,25 0,037 @ Angel Prieto Benito Matemáticas Aplicadas CS I

Matemáticas Aplicadas CS I Ya tenemos la binomial que mejor ajusta: B(3, 0,35). Calculamos P(x=0), P(x=1) P(x=2) y P(x=3) Para ello podemos utilizar el binomio de Newton: (0,65 + 0,35)3 = C3,0.0,653 + C3,1.0,35.0,652 + C3,2.0,352.0,65 + C3,3 .0,353 = = 0,275 + 0,444 + 0,239 + 0,042 , que son las probabilidades a calcular. Probabilidades Frecuencias teóricas Frecuencias observadas ( reales ) P(x=0) = 0,275 1000.0,275 = 275 292 P(x=1) = 0,444 1000.0,444 = 444 421 P(x=2) = 0,239 1000.0,239 = 239 250 P(x=3) = 0,042 1000.0,042 = 42 37 Vemos que las frecuencias teóricas y observadas difieren muy poco. El grado de aproximación es aceptable. Nota: Como en muchos trabajos de investigación estadística, las frecuencias se han tomado en tanto por miles, no en %. @ Angel Prieto Benito Matemáticas Aplicadas CS I

Matemáticas Aplicadas CS I Ejemplo_2: En una empresa se ha realizado una prueba a 100 trabajadores para determinar quien reúne las tres características esenciales para un ascenso profesional. Se observó los siguientes resultados: Los resultados son 0 , 1 , 2 y 3 características de promoción. Podemos suponer que existe una distribución binomial B(3, p) que nos da la probabilidad de r = 0, 1 , 2 y 3 características. O sea, un suceso con una probabilidad p de éxito se repite 3 veces. Habrá que calcular el valor de p y luego ver si las distintas probabilidades calculadas se aproximan a las frecuencias relativas dadas para validar o no el ajuste realizado. La media muestral de la distribución discreta dada será: x =∑x.f / ∑.f = (0.40+1.20+2.10+3.30)/ 100 = 1,3 Como μ = n.p , 1,3 = 3.p , de donde p = 0,4333 La binomial B(3, 0,4333) es la del mejor ajuste. x 1 2 3 Total f 40 20 10 30 100 fr 0,4 0,2 0,1 0,3 @ Angel Prieto Benito Matemáticas Aplicadas CS I

Matemáticas Aplicadas CS I Ya tenemos la binomial que mejor ajusta: B(3, 0,4333). Calculamos P(x=0), P(x=1) P(x=2) y P(x=3) Para ello podemos utilizar el binomio de Newton: (0,5666 + 0,4333)3 = C3,0.0,56663 + C3,1.0,4333.0,56662 + + C3,2.0,43332.0,5666 + C3,3 .0,56663 = 0,081 + 0,318 + 0,417 + 0,182 Probabilidades Frecuencias teóricas Frecuencias observadas ( reales ) P(x=0) = 0,081 100.0,081 = 8 40 P(x=1) = 0,318 100.0,318 = 32 20 P(x=2) = 0,417 100.0,417 = 42 10 P(x=3) = 0,182 100.0,182 = 18 30 Vemos que las frecuencias teóricas y observadas difieren muchísimo. No se puede aceptar el ajuste. La binomial B(3,0,4333) es la de mejor ajuste, pero en nuestro caso no podemos hacerlo porque cometeríamos unos errores muy grandes. @ Angel Prieto Benito Matemáticas Aplicadas CS I

Matemáticas Aplicadas CS I Ejemplo_3 En unas oposiciones se han realizado 4 exámenes a 400 opositores. Hemos anotado lo siguiente: Los resultados son 0 , 1 , 2 , 3 y 4 exámenes aprobados. Podemos suponer que existe una distribución binomial B(4, p) que nos da la probabilidad de r = 0, 1 , 2 , 3 y 4 exámenes aprobados. O sea, un suceso con una probabilidad p de éxito se repite 4 veces. Habrá que calcular el valor de p y luego ver si las distintas probabilidades calculadas se aproximan a las frecuencias relativas dadas para validar o no el ajuste realizado La media muestral de la distribución discreta dada será: x =∑x.f / ∑.f = (0.60+1.120+2.100+3.60+4.40)/ 400 = 660/400=1,65 Como μ = n.p , 1,65 = 4.p , de donde p = 0,4125 La binomial B(4, 0,4125) es la del mejor ajuste. x 1 2 3 4 Total f 60 120 100 40 400 hi 0,15 0,30 0,25 0,10 @ Angel Prieto Benito Matemáticas Aplicadas CS I

Matemáticas Aplicadas CS I Ya tenemos la binomial que mejor ajusta: B(4, 0,4125). Calculamos P(x=0), P(x=1) , P(x=2) , P(x=3) y P(x=4) Para ello podemos utilizar el binomio de Newton: (0,5875 + 0,4125)4 = C4,0.0,58754 + C4,1.0,4125.0,58753 + C4,2.0,41252.0,58752 + + C4,3.0,41253.0,5875 + C4,4 .0,41254 = 0,1191 + 0,3346 + 0,3524 + 0,1649 + 0,0289 Probabilidades Frecuencias teóricas Frecuencias observadas ( reales ) P(x=0) = 0,119 400.0,119 = 48 60 P(x=1) = 0,335 400.0,335 = 134 100 P(x=2) = 0,352 400.0,352 = 141 120 P(x=3) = 0,165 400.0,165 = 66 P(x=4) = 0,029 400.0,029 = 12 40 Vemos que las frecuencias teóricas y observadas difieren algo. El grado de aproximación es aceptable si el estudio no requiere gran precisión. @ Angel Prieto Benito Matemáticas Aplicadas CS I