ESPAD III * TC 2 FRACCIONES

CONCEPTO DE FRACCIÓN FRACCIÓN COMO DIVISIÓN Una fracción es el cociente de dos números enteros, donde el divisor tiene que ser distinto de cero. Ejemplos 2 - 5 1003 - 772 ----- , ------ , ------- , -------- 15 3 - 71 1000 FRACCIÓN COMO PARTES de la UNIDAD. El denominador es el número de partes iguales en que queda dividida la unidad. El numerador es el número de partes que se toman. Ejemplo 3 --- , que nos señala que hemos tomado 3 partes de las 5. 5

CONCEPTO DE FRACCIÓN FRACCIÓN COMO PARTES de la UNIDAD. Ejemplos gráficos 3 / 4 3 / 4 6 / 8 5 / 8 4 / 4 7 / 8 5 / 4

CONCEPTO DE FRACCIÓN FRACCIÓN COMO OPERADOR Una fracción es también un número que opera a una cantidad. Para calcular la fracción de una cantidad se divide el número entre el denominador y el resultado se multiplica por el numerador. Ejemplo 1 Hallar los 3 / 4 de 20 folios 3 --- de 20 folios = 20 : 5 . 3 = 4 . 3 = 12 folios 4 Ejemplo 2 Hallar los 5 / 7 de 140 chinchetas 5 --- de 140 chinchetas = 140 : 7 . 5 = 20 . 5 = 100 chinchetas 7

Comparación de fracciones con la unidad Una fracción es propia si el numerador es menor que el denominador. Una fracción propia es menor que la unidad. Una fracción es igual a la unidad si el numerador es igual que el denominador. Una fracción es impropia si el numerador es mayor que el denominador. Una fracción impropia es mayor que la unidad. Ejemplos: 4 / 4 5 / 4 7 / 8 Fracción propia Unidad Fracción impropia

SIGNO DE UNA FRACCIÓN Cada término de una fracción puede ser negativo o positivo. Se aplica la regla de los signos y el resultado nunca puede llevar un signo negativo en el denominador. Ejemplos +3 3 - 7 7 --- = ----- ; ------ = ------- +4 4 - 9 9 - 5 5 + 2 2 --- = – ----- ; ------ = – ----- +7 7 - 5 5 - 3 – 3 + 7 – 7 ------ = ------ ; ------ = ------- +11 11 - 10 10

FRACCIONES EQUIVALENTES Dos fracciones a / b y c / d son equivalentes ( tienen el mismo valor ) si a.d = c.b O sea, si el producto de extremos es igual al producto de medios. Ejemplo: 3 / 4 = 6 / 8 ↔ 3.8 = 4.6 , pues 24 = 24 Si se multiplica o divide el numerador y el denominador de una fracción por un número entero distinto de cero, se obtiene otra fracción equivalente a la dada. Para hallar fracciones equivalentes existen dos métodos:

MÉTODO DE SIMPLIFICACIÓN Dividimos numerador y denominador por un mismo número, que debe ser divisor común a ambos: 450 90 18 9 ------ =[:5]= ---- =[:5]= ---- =[:2]= ---- 700 140 28 14 Si la fracción resultante no se puede reducir más, se llama IRREDUCIBLE. Para hallar de forma rápida la fracción irreducible se divide numerador y denominador por el máximo común divisor de ambos: M.c.d. ( 450 y 700 ) = 2.52 = 50 450 / 700 =[:50] = 9 / 14 , que es la fracción irreducible.

MÉTODO DE AMPLIACIÓN Multiplicamos numerador y denominador por un mismo número: 45 135 ----- =[x3]= ----- 70 210 42 63 ---- =[x1,5]= ----- , correcto aunque el factor no sea entero. 70 105 6 9 -- =[x1,5]= ------- , no es correcto pues numerador y denominador 7 10,5 deben ser números enteros. Todas las fracciones equivalentes a una fracción dada determinan un mismo número, que se llama número racional. El conjunto de los números racionales se designa con la letra Q.

Comparación de fracciones Dos fracciones sólo pueden compararse si tienen IGUAL numerador o igual denominador. Si tienen igual numerador, será mayor quien tenga menor denominador: Ejemplos: 3 / 7 es mayor que 3 / 8 2 / 5 es mayor que 2 / 7 4 / 5 es menor que 4 / 3

Si dos fracciones no tienen igual denominador, podemos hacer que lo tengan de dos formas: Reducción a común denominador: Multiplicando los denominadores. Ejemplo: 2 / 4 y 3 / 8  16 / 32 y 12 / 32 Reducción a mínimo común denominador: El denominador común a dos o más fracciones es el m.c.m. de los denominadores. 2 / 4 y 3 / 8  4 / 8 y 3 / 8 Una vez reducidas la mayor será la que tenga mayor numerador.

SUMAS DE FRACCIONES PRIMER CASO QUE TENGAN EL MISMO DENOMINADOR Entonces el resultado es otra fracción de igual denominador y como numerador la suma o resta de los numeradores. Ejemplos: 5 4 5+4 9 ---- + ---- = ------ = ----- 7 7 7 7 5 4 9 5 + 4 – 9 0 ---- + ---- – ---- = ------------- = ----- = 0 13 13 13 13 13

SEGUNDO CASO QUE TENGAN DISTINTO DENOMINADOR Entonces el resultado es otra fracción cuyo denominador es el m.c.m. de los denominadores y como numerador la suma o resta de los numeradores. Ejemplos: 5 4 25 28 25+28 53 ---- + ---- = ------ + ------ = --------- = ------- 7 5 35 35 35 35 5 4 7 15 + 16 – 7 24 ---- + ---- – ---- = ----------------- = ----- = 2 4 3 12 12 12

TERCER CASO QUE HAYA NÚMEROS ENTEROS EN LA SUMA Se transforma el número entero en fracción y se opera como en el caso anterior. Ejemplos: 5 5 3 5 21 5 – 21 -16 ---- – 3 = ---- – ----- = ---- – ----- = ---------- = ------ 7 7 1 7 7 7 7 3 5 60 9 10 60 – 9 – 10 41 5 – ---- – ---- = ---- – ---- – ------ = --------------- = ---- 4 6 12 12 12 12 12

Producto de un número por una fracción Para multiplicar un número entero por una fracción se multiplica dicho número por el numerador de la fracción. b a.b a a.c a. --- = ------ o también ---- . c = ------- c c b b b a.b Estaría muy mal: a. ---- = ------ c a.c EJEMPLOS 4 3.4 12 3 . ---- = ----- = ---- 5 5 5 5 5.4 20 --- . 4 = -------- = ------ 3 3 3

PRODUCTO DE FRACCIONES El producto de dos fracciones es otra fracción, que tiene como numerador y denominador el producto de los numeradores y denominadores respectivamente. Ejemplo: 5 4 5.4 20 10 --- . ---- = -------- = ------, que reducida es ----- 7 6 7.6 42 21 4 7 4 28 14 7 . ---- = ---- . ---- = ------, que reducida es ----- 6 1 6 6 3

INVERSA DE UNA FRACCIÓN La inversa de un número a es 1 / a La inversa de una fracción a / b es: 1 1. b b -------- = --------- = ---- Así pues se intercambian numerador y a a a denominador para hallar la inversa. ---- b Ejemplos: La inversa de 2 es 1 / 2 La inversa de – 5 es – 1 / 5 Ejemplos: La inversa de 2 / 3 es 3 / 2 La inversa de – 5 / 7 es – 7 / 5 La inversa de 1 / 7 es 7

DIVISIÓN DE FRACCIONES Para dividir dos fracciones se multiplica a la primera la inversa de la segunda. Ejemplos: 5 4 5 6 30 ---- : ---- = ----- . ------ = ----- = 15 / 14 7 6 7 4 28 - 3 6 - 3 7 - 21 ---- : ---- = ----- . ------ = ------ = - 7 / 10 5 7 5 6 30 5 5 - 2 5 - 1 ---- : ( - 2) = ----- : ------ = ----- . ----- = - 5 / 14 7 7 1 7 2

JERARQUÍA EN LAS OPERACIONES Son unas normas básicas de operar con números: Primero se realizan los PARÉNTESIS, si les hay. Si hay paréntesis anidados ( uno dentro de otro) se opera de dentro hacia fuera. Segundo las POTENCIAS y RAÍCES, si las hay. Tercero los PRODUCTOS y DIVISIONES, si los hay. Cuarto las SUMAS y RESTAS, si las hay Si hay una igualdad en el orden o jerarquía en las operaciones, se opera de IZQUIERDA a DERECHA.

Ejemplo: 5 4 3 8 4 5 --- + --- . [ ---- – 7. ( ---- – 2 ) ] : ---- .---- + 2 6 3 2 3 3 7 Vemos que hay un paréntesis anidado. 5 4 3 8 – 6 4 5 --- + --- . [ ---- – 7. ( --------) ] : ---- .---- + 2 6 3 2 3 3 7 5 4 3 2 4 5 --- + --- . [ ---- – 7. ---- ] : ---- .---- + 2 6 3 2 3 3 7 5 4 3 14 4 5 --- + --- . [ ---- – ---- ] : ---- .---- + 2 6 3 2 3 3 7 Queda aún un paréntesis que hay que resolver prioritariamente.

5 4 9 28 4 5 --- + --- . [ ---- – ---- ] : ---- .---- + 2 6 3 6 6 3 7 5 4 - 19 4 5 --- + --- . [ ---- ] : ---- .---- + 2 6 3 6 3 7 Ahora los productos y divisiones, de izquierda a derecha: 5 - 76 4 5 --- + ----- : ---- .---- + 2 6 18 3 7 5 - 228 5 --- + --------- . ---- + 2 6 72 7

5 - 1140 --- + ----------- + 2 6 504 Ahora ya sólo quedan sumas y restas: 84.5 - 1140 1008 ------- + --------- + -------- 504 504 504 420 – 1140 + 1008 288 --------------------------- = ------- 540 540 Y finalmente se simplifica la fracción resultante: 288 144 72 24 8 ----- = -------- = ------- = ------ = ---- , que es irreducible. 540 270 135 45 9