Funciones Presentado por: Tammy Roterman y Orli Glogower Presentado a: Patricia Cáceres Décimo Grado

Funciones Tipos Definición Formas de expresar Características Funciones Inyectivas, Sobreyectivas y Biyectivas Funciones Pares e Impares

Función Definición Una función es una relación entre un conjunto dado X (el conjunto de salida) y otro conjunto de elementos Y (el conjunto de llegada) de manera que a cada elemento x del conjunto de salida le corresponda uno y solo un elemento del conjunto de llegada f(x). A cada Pre Imagen le corresponde una sola y solo una Imagen.

Formas de expresar una función Una función se puede expresar de 4 distintas formas: Enunciado Tabla Gráfica Algebraicamente

Una función se expresa a través de una tabla, cuando se dan algunos valores de X con los valores correspondientes de Y. Ejemplo: X 2 8 10 12 Y 3 4

Una función se expresa a través de un enunciado cuando se describe verbalmente. Ejemplo: Una función es la relación entre los elementos del conjunto de salida y los elementos del conjunto de llegada.

Una función se expresa a través de una formula o expresión algebraica cuando se da una ecuación en la que se relacionan las variables X y Y. Ejemplo: f(x)= 4X2 – 3X + 8 f(x)= 2X + 4 f(x)= X3 + 2X2 – 4X + 3

Una función se expresa a través de una gráfica, cuando se representan los pares (x,y) en el plano cartesiano. Ejemplo:

Características de las funciones Variable dependiente Variable independiente Imagen Pre Imagen Dominio Rango Conjunto de salida Conjunto de llegada Punto de corte con X Punto de corte con Y Crecimiento Periodicidad Máximos y mínimos

Son los posibles valores del conjunto de llegada Son los posibles valores del conjunto de llegada. La variable dependiente se llama Y. Son los posibles valores del conjunto de salida. La variable independiente se llama X. Características

f a 1 b 2 c 3 4 Y X Imagen: Los valores del conjunto de llegada que se relacionan con los valores del conjunto de salida. Pre Imagen: Los valores del conjunto de salida que se relacionan con los valores del conjunto de llegada. Características

Rango: Conjunto de elementos del conjunto de llegada que están relacionadas con un valor del conjunto de salida. Dominio: Conjunto de elementos del conjunto de salida que están relacionadas con algún elemento del conjunto de llegada. Características

Conjunto de Salida: Conjunto de Pre Imágenes. Conjunto de Llegada: Conjunto de Imágenes. Características

Punto de corte con Y: Se halla cuando X=0. Se reemplaza X por 0. Punto de corte con X: Se halla cuando Y=0. Se iguala la función a 0, y se resuelve la ecuación resultante. Punto de corte con Y: Se halla cuando X=0. Se reemplaza X por 0. Características

Periodicidad: Una función es periódica, si su gráfica se repite en intervalos de amplitud constante. Periodo: Longitud del intervalo que se repite. Máximos y mínimos: Máximo relativo: Es un punto en el que el valor de la función es mayor que en los puntos que están próximos. Mínimo relativo: Es un punto en el que el valor de la función es menor que en los puntos que están próximos. Crecimiento: Función creciente: Es creciente cuando al aumentar los valores de X, aumenta Y. Función decreciente: Es decreciente, cuando al aumentar los valores de X, disminuye Y. Características

Funciones Inyectivas: Funciones Sobreyectivas: Una función es Inyectiva si a cada Imágen le corresponde una única Pre Imágen. Funciones Sobreyectivas: Una función es Sobreyectiva si cada elemento del rango es como mínimo la imagen de un elemento del domino. X Y X Y 1 2 3 4 D B C 1 2 3 D B C A

Función Biyectiva: Una función es Biyectiva cuando todos los elementos del conjunto de salida tienen una imagen distinta en el conjunto de llegada (inyectiva), sumándole que a cada elemento del conjunto de salida le corresponde un elemento del conjunto de llegada (sobreyectiva). X Y 1 2 3 4 D B C A

Función Par: Función Impar: Se llama función par a la que para todo x perteneciente al Domino de la función, se cumple que: Se produce una simetría con respecto al eje y. Ejemplo: f(x)= X2 f(-2)= 4 f(2)= 4 Todas las funciones pares cumplen la ecuación: Función Impar: Se llama función impar a la que para todo x perteneciente al Dominio de la función, se cumple que: Se produce una simetría con respecto al origen de coordenadas. Ejemplo: f(x)= X3 f(2)=8 f(-2)=-8 Todas las funciones impares cumplen la ecuación:

Impar

Par

Tipos de funciones Por Partes o A Trozos Polinómicas Racional Exponencial Trigonométricas Logarítmica Valor Absoluto

Funciones polinómicas Grado Par Constante Grado Impar Cuadrática Lineal Cúbica Afín Idéntica

Generalidades de una función Polinómica Se llama función polinómica a toda aquella que está definida por medio de polinomios. Según el grado del polinomio, las funciones polinómicas se pueden clasificar en: En el conjunto de las funciones polinómicas pueden definirse los siguientes tipos de operaciones: Suma de dos funciones f (x) y g (x): produce una nueva función (f + g) (x). Producto de una función f (x) por un número l: produce una nueva función (l × f) (x). Producto de dos funciones f (x) y g (x): resulta una nueva función (f × g) (x). Grado Nombre Expresión 0 Constante y= a 1 Lineal y= ax + b 2 Cuadrática y= ax2 + bx + c 3 Cúbica y= ax3 + bx2 + cx + d

Función Constante Elementos EJEMPLO Es una función polinómica de grado cero que no depende de ninguna variable. Se define por la ecuación: y= a Elementos Dominio= IR Rango= a Conjunto de Salida= IR Conjunto de Llegada= IR Punto de corte con x= no existe Punto de corte con y= a EJEMPLO

Constante Análisis: y= 6 Dominio-Conjunto de salida= IR Conjunto de llegada= IR Rango= {6} Punto de corte con y= 6

Función Afín Elementos EJEMPLO La función afín viene dada por la ecuación: y= mx+n Donde X y Y son las variables m es la pendiente n es la ordenada en el origen La m de una recta determina la inclinación de la misma, entonces: Si m<0 decreciente Si m>0 creciente Si m=0 constante m se calcula: Elementos Dominio= IR Conjunto de Salida= IR Rango= IR Conjunto de Llegada= IR Punto de corte con y= n EJEMPLO

Afín Análisis: y= 6x +2 Dominio-Conjunto de salida= IR Rango-Conjunto de llegada= IR Punto de corte con y= 2 Punto de corte con x= -1/3 Pendiente= 6

y= ax(2n) + bx(2n)-1 + cx(2n)-2 + … + dx + e Funciones de Grado Par Las funciones de grado par son las funciones en las que el mayor grado del polinomio es par. Se definen por la ecuación: y= ax(2n) + bx(2n)-1 + cx(2n)-2 + … + dx + e EJEMPLO

Grado Par y= 2X4 + 4x3 + 6x2 – x + 8

Función Cuadrática Elementos EJEMPLO Es una función polinómica que se define mediante un polinomio de segundo grado como: Es una parábola vertical, orientada hacia arriba o hacia abajo según sea el signo de a. El vértice de una parábola se halla mediante la ecuación: Dominio= IR Rango= (máximo o mínimo relativo, Conjunto de salida= IR Conjunto de llegada= IR Punto/s de corte con x: y= 0, se halla/n mediante la formula cuadrática: Punto de corte con y= c Elementos EJEMPLO

Cuadrática Análisis: y= x2 + 3x – 4 Dominio-Conjunto de salida= IR Rango-Conjunto de llegada= IR Punto de corte con y= -4 Punto de corte con x= {-4, 1} Mínimo relativo= -3/2

Funciones de Grado Impar Las funciones de grado impar son las funciones en las que el mayor grado del polinomio es impar. Se definen por la ecuación: y= ax(2n-1) + bx(2n-1)-1 + cx(2n-1)-2 + … + dx + e EJEMPLO

Grado Impar y= 3x3 + 2x2 – x + 4

Función Lineal Elementos EJEMPLO Es la función que se define por la ecuación: y= mx Elementos Dominio= IR Rango= IR Conjunto de Salida= IR Conjunto de Llegada= IR Punto de corte con Y= 0 Punto de corte con X= 0 EJEMPLO

Lineal Análisis: y= 4x Dominio-Conjunto de salida= IR Rango-Conjunto de llegada= IR Punto de corte con y= 0 Punto de corte con x= 0 Pendiente= 4

Función Idéntica Elementos EJEMPLO Es la función que asigna como imagen a cada elemento del dominio el mismo elemento. Se define por la ecuación: y= x Su pendiente es m=1 Su gráfica es la recta bisectriz de los cuadrantes primero y tercero. Elementos Dominio= IR Conjunto de Salida= IR Rango= IR Conjunto de Llegada= IR Punto de corte con X y Y= 0 EJEMPLO

Idéntica Análisis: y= x Dominio-Conjunto de salida= IR Rango-Conjunto de llegada= IR Punto de corte con y= 0 Punto de corte con x= 0

Función Cúbica Elementos EJEMPLO Función que tiene la forma, o puede ser llevada a la forma: con a ≠ 0 , a,b,c,d ∈ IR Elementos Dominio= IR Conjunto de Salida= IR Rango= IR Conjunto de Llegada= IR Punto de corte con y= d EJEMPLO

Cúbica Análisis: y= x3 + 3x2 + 4x + 6 Domino-Conjunto de salida= IR Rango-Conjunto de llegada= IR Punto de corte con y= 6 Punto de corte con x= -2.5

Función Valor Absoluto La función de valor absoluto se define por la ecuación: y= IxI + c El valor absoluto de un número real es su valor numérico sin tener en cuenta su signo, ya sea positivo o negativo. IXI= X, Si X > 0 -X, Si X < 0 El valor absoluto de X siempre será igual o mayor que cero, y nunca será negativo.

Propiedades del Valor Absoluto No negatividad : |a| ≥ 0 Definición positiva: |a| = 0 a = 0 Propiedad multiplicativa: |ab| = |a||b| Propiedad aditiva: |a+b| ≤ |a|+|b| Simetría: |-a| = |a| Identidad de indiscernibles : |a-b|= 0 a=b Desigualdad triangular: |a-b| ≥ |a-c|+ |c-b| Elementos Dominio= IR Conjunto de Salida= IR Conjunto de Llegada= IR Rango= (mínimo, ∞) o ( - ∞, máximo) EJEMPLO

Función Logarítmica La función logarítmica se define por la ecuación: y= loga x Solo esta definida en los números positivos. Si 0<a<1: Dominio= IR + Conjunto de Salida= IR Rango= IR Conjunto de Llegada= IR Puntos que pertenecen a la gráfica: (1,0) y (a,1) Decreciente Si a>1: Dominio= IR + Conjunto de Salida= IR Rango= IR Conjunto de Llegada= IR Puntos que pertenecen a la gráfica: (1,0) y (a,1) Creciente

EJEMPLO Deducciones de los logaritmos Propiedades de los logaritmos 2. El logaritmo de un cociente es igual al logaritmo del dividendo menos el logaritmo del divisor. 3. El logaritmo de una potencia es igual al producto del exponente por el logaritmo de la base. 4. El logaritmo de una raíz es igual al cociente entre el logaritmo del radicando y el índice de la raíz. 5. Cambio de base Deducciones de los logaritmos No existe el logaritmo de un número con base negativa número negativo No existe el logaritmo de cero El logaritmo de 1 es cero El logaritmo en base a de a es uno El logaritmo en base a de una potencia en base a es igual al exponente. Propiedades de los logaritmos 1. El logaritmo de un producto es igual a la suma de los logaritmos de los factores. EJEMPLO

Elementos Función Racional En las funciones racionales, la variable X no puede tomar el valor que hace cero al denominador, por eso, el dominio de Y es el conjunto de todos los números reales excepto los ceros de q. Esta definida por una expresión algebraica que es el cociente de dos polinomios: Elementos Dominio= IR- {asíntotas verticales} Conjunto de Salida= IR Rango= R- {asíntotas horizontales} Conjunto de Llegada= IR Punto de Corte con x= Se iguala a 0 el numerador. Punto de Corte con y= Se sustituye x por 0 en la ecuación original.

Verticales Horizontales Asíntotas Las asíntotas son rectas a las cuales se aproxima una función sin llegar a ellas. Para: Verticales Horizontales 1) Para m < n, la recta y = 0 (el eje x) es una asíntota horizontal. 2) Para m = n, la recta y = am/bn, es una asíntota horizontal. 3) Para m > n, no hay asíntotas horizontales. Es el valor que no pertenece al dominio de la función, pero tampoco la anula. Se hallan igualando el denominador a 0. EJEMPLO

Función Exponencial La función exponencial se define por la ecuación: y= ax, donde a y x son números reales. Cuando a<1, la función es decreciente. Cuando a>1, la función es creciente. (a debe ser diferente de 1) También está la función exponencial natural definida por la ecuación y=ex, donde e es el número de Euler, aproximadamente 2.71828....

Propiedades de los Exponentes 1. 2. 3. 4. 5. 6. Elementos Dominio= IR Conjunto de Salida= IR Conjunto de Llegada= IR Rango= (0, ∞) El eje x es una asíntota horizontal. EJEMPLO

Referencias de consulta http://es.wikipedia.org/wiki/Funci%C3%B3n_impar http://www.x.edu.uy/lineal.htm http://thales.cica.es/rd/Recursos/rd99/ed99-0416-02/indice.htm http://personal5.iddeo.es/ztt/Tem/T3_Funcion_Logaritmica.htm http://es.wikipedia.org/wiki/Funci%C3%B3n_par http://www.slideshare.net/mfatela/3-funcin-par-e-impar http://www.amschool.edu.sv/Paes/f8.htm http://matesup.utalca.cl/modelos/2clase/2_1_Funciones.pdf http://docencia.udea.edu.co/ingenieria/calculo/pdf/1_2.pdf http://www.vitutor.com/fun/2/c_4.html http://www.escolared.com.ar/nuevacarpeta/funracional.html http://descartes.cnice.mec.es/materiales_didacticos/Funciones_formas_de_expresar/elementos.htm http://es.wikipedia.org/wiki/Funci%C3%B3n_inyectiva http://es.wikipedia.org/wiki/Funci%C3%B3n_biyectiva http://es.wikipedia.org/wiki/Funci%C3%B3n_sobreyectiva http://bc.inter.edu/facultad/Ntoro/logaw.htm http://bc.inter.edu/facultad/ntoro/fraciow.htm