Ecuaciones diferenciales 5. Introducción a las ecuaciones en derivadas parciales Objetivo El alumno conocerá las ecuaciones en derivadas parciales y aplicará el método de separación de variables en su resolución

Ecuaciones diferenciales parciales Ecuaciones diferenciales parciales (EDP) Tipos de EDP homogéneas con coeficientes constantes Solución de una EDP EDP clásicas Obtención de una EDP a partir de una solución dada

Ecuación diferencial parcial lineal de segundo orden Los coeficientes A, B, C, D, E, F son constantes o dependen sólo de las variables independientes El término G es constante o depende sólo de las variables independientes La función u(x,y) y todas sus derivadas tienen potencia 1

Tipos de EDP lineales homogéneas con coeficientes constantes Tipo de EDP Condición Hiperbólica Parabólica Elíptica

Solución de una EDP Es una función de dos o más variables independientes Satisface a la EDP en alguna región dada El número de variables independientes en la solución depende de las dimensiones del problema El número de funciones arbitrarias presentes en la solución indica el orden de la EDP La forma de la solución de una EDP para el caso unidimensional puede ser de dos formas:

Solución completa de una EDP Son las soluciones que contienen el mismo número de funciones arbitrarias que de variables independientes en una EDP Solución general de una EDP Es una solución que contiene un número de funciones arbitrarias igual al orden de la EDP

EDP clásicas: Ecuación de calor Ecuación de onda Ecuación de Laplace

T Problema de difusión de calor x k es la conductividad térmica del material f(x) T x Distribución de temperatura a lo largo de la barra en un instante de tiempo cualquiera

t Ley de enfriamiento de Newton: t0 Problema que resuelve: Modelo matemático: M t0 T ≠ M t M es la temperatura constante del medio T es la temperatura de un objeto t es el tiempo Problema que resuelve: ¿En cuánto tiempo el cuerpo inmerso adquiere la temperatura del medio? M tf = ? T = M

Suelo compresible, Cv DH = ? Consolidación unidimensional de los suelos Cv es el coeficiente de consolidación del suelo El modelo predice la distribución de presión de poro en el suelo Suelo compresible, Cv DH = ? H w0

Problema de la cuerda vibrante v es la velocidad de propagación de la onda http://www.math.ubc.ca/~feldman/demos/demo6c.html

Propagación de ondas sísmicas Movimiento de salida (respuesta) Estrato de suelo, v Roca Movimiento de entrada (sismo)

Ecuación de Laplace Este modelo se presenta en problemas independientes del tiempo relacionados con potenciales electrostáticos, gravitacionales y con la velocidad en mecánica de fluidos. También puede interpretarse como una distribución de temperatura de estado estable:

Flujo bidimensional de agua en medios porosos kx, ky son las permeabilidades del suelo en las direcciones x, y respectivamente El modelo calcula el potencial hidráulico (cabeza de agua) en la región de interés

Soluciones gráficas de la ecuación de Laplace para distintas condiciones de frontera: redes de flujo

Obtención de una EDP a partir de una solución dada La EDP se obtiene mediante el proceso de eliminación de funciones arbitrarias: Identificar el orden de la EDP Derivar parcialmente de acuerdo con este orden Sumar algebraicamente aquellas derivadas que se anulen

Ejercicios Obtengas las EDPs a partir de las soluciones siguientes 1 2 3