CLASE 187 Razones y proporciones
a a es a b ó a : b b Términos de una razón b Es el cociente entre dos cantidades a y b (b ≠ 0) Razón Se escribe Se lee a b ó a : b a es a b Términos de una razón Antecedente a b Consecuente
Ejemplo Los siguientes pares de números (que representan las longitudes de los lados de un rectángulo en cada caso) están en la misma razón. a 6 36 81 4,5 b 2 12 27 1,5 área a b 6 2 36 12 81 27 4,5 1,5 = = = = = 3
= Ejemplo L: Perímetro de la circunferencia d d: Longitud del diámetro L d d d Ld = L = d = 3,141…
La igualdad de dos razones es una Proporción se escribe m p = ó m : n = p : q n q se lee m es a n como p es a q
= m : n = p : q p m n q Términos de una proporción Extremo Medio Medio
Teorema fundamental de las proporciones q = m n si y solo si m • q = n • p (n ≠ 0 , q ≠ 0) Teorema cuádruple p q = m n (m, n, p, q≠ 0) si y solo si m n m = p q p m n p q = n q ó
b es la media proporcional entre a y c. = a b es la media proporcional entre a y c. Tercera proporcional: a y c son terceras proporcionales b c = a Cuarta proporcional: a, b, c y d son cuartas proporcionales de los tres términos restantes c d = a b
Ejercicio 1 9 L 4 L Se tienen dos recipientes de 4 L y 9 L de capacidad respectivamente. Halla la capacidad de un recipiente si esta debe ser media proporcional entre las dadas.
x : y : z = 3 : 4 : 5 xy yz 34 45 = = Ejercicio 2 Los lados de un triángulo de perímetro P = 240 cm, están en la razón 3 : 4 : 5. Halla las dimensiones de sus lados. Solución x : y : z = 3 : 4 : 5 y x z xy yz 34 45 = =
xy yz 34 45 = = 34 54 x y = z y = x + y + z = 240 34 y 54 y y = 80 cm Solución xy 34 = yz 45 = y x x 34 = y (2) (1) z 54 = y z x + y + z = 240 (3) 34 y 54 y y = 80 cm y + + = 240 x = 60 cm 2y + y = 240 3y z = 100 cm = 240