Funciones Reales de Varias Variables
Función de dos variables. Contenidos Habilidades Función de dos variables. Gráfica de una función real de dos variables. Curvas de nivel. Límite. Continuidad. Derivadas Parciales. ir ir ir ir ir ir ir
Habilidades Define el concepto de función real de dos y tres variables. Determina el dominio de una función real y lo representa gráficamente. Traza la gráfica de una función real de dos variables reales. Relaciona la regla de correspondencia de una función con su gráfica. Determina las curvas (superficies) de nivel de una función real de dos (tres) variables.
Calcula el límite de una función. Habilidades Calcula el límite de una función. Determina la no existencia del límite de una función real de dos variables reales. Establece la continuidad de una función real en un punto. Define el concepto de derivada parcial. Calcula derivadas parciales. Interpreta geométricamente el concepto de derivada parcial. Calcula derivadas parciales de segundo orden. Verifica que una función dada es solución de una ecuación en derivadas parciales. inicio
Funciones de Varias Variables. Definición: Una función f de dos variables es una regla que asigna a cada par ordenado de números reales (x,y) de un conjunto D, un número real único denotado por f(x,y). El conjunto D es el Dominio de f y su imagen es el conjunto de valores que toma f, es decir
Ejemplos. 1. Halle los dominios de las siguientes funciones y grafíquelos. 2. Evalué la función del inciso (a) en f(0,0) ,f(1,1) y f(2,-1), en caso sea posible. Justifique su respuesta. inicio
Gráfica de una función de dos variables. Definición: Si f es una función de dos variables con dominio D, entonces la gráfica de f es el conjunto de los puntos (x, y, z) de R3 tales que z = f(x,y) y (x,y) está en D.
Ejemplo 2. Grafique las siguientes funciones y determine el dominio y la imagen. inicio
Curvas de nivel.
Definición: Las curvas de nivel de una función f de dos variables, son las curvas con ecuaciones f(x,y)=k, donde k es una constante (que pertenece a la imagen de f). O x
Ejemplos 3. Trace la gráfica y las curvas de nivel de: 4. Una lamina de metal plana está situada en un plano XY y la temperatura T (en grados centígrados) en el punto (x, y) es inversamente proporcional a la distancia del punto (x, y) al origen. a) Describa las isotermas b) Suponiendo que la temperatura en el punto P(4 ; 3) es 40 grados centígrados, encuentre una ecuación de la isoterma correspondiente a la temperatura de 20 grados centígrados.
Ejemplos 5. Describa y trace las superficies de nivel de la función: inicio
Límites
Límites Definición: Sea f una función de dos variables cuyo dominio D incluye puntos arbitrariamente cercanos a (a,b). Entonces decimos que el límite de f(x,y) cuando (x,y) se aproxima a (a,b) es L y escribimos tal que siempre que y
Interpretación geométrica de los límites X Z
Determina la no existencia del límite de una función real. Definición: Si cuando por una trayectoria C1 y cuando por otra trayectoria C2,, donde , entonces no existe. a b y
inicio Ejemplos 5. Muestre que no existe 6. Muestre que no existe
Continuidad Definición: Una función f de dos variables, se denomina continua en (a,b) si Decimos que f es continua en D si f es continua en todo punto (a,b) de D Nota: Las funciones polinomicas y racionales son continuas en su dominio inicio
Derivadas parciales. Sea z=f(x,y), definida en el dominio D del plano XY y sea (x0 ,y0) un punto de D. La función f(x, y0) depende solamente de x y está definida alrededor de x0. Si la derivada existe, el valor de la derivada es llamado derivada parcial de f(x,y),con respecto a x en el punto (x0,y0) y se denota por
Definición de derivada parcial con respecto a x.
Definición de derivada parcial con respecto a y. Del mismo modo, la derivada de f con respecto a y en (a,b) , denotada por fy(x0 ,y0), se obtiene dejando x fija (x=x0).
Ejemplos 1. Si f(x,y)=4-x2-2y2, encuentre fx(1,1), fy (1,1), e interprete estos números como pendientes. 2. Obtenga las primeras derivadas parciales de f
Derivadas parciales respecto a x y a y. Fin