@ Angel Prieto BenitoMatemáticas Acceso a CFGS1 CONTINUIDAD DE FUNCIONES Bloque III * Tema 117

@ Angel Prieto BenitoMatemáticas Acceso a CFGS2 CONTINUIDAD GRÁFICA Una función se dice que es continua en todo su dominio cuando podamos ser capaces de dibujarla de un solo trazo continuo, sin levantar el lápiz del papel. Ejemplo 0 Sea la función troceada: x+1, si x ≤ 1 f(x) = 1, si x > 1 A la izquierda de x=1 la función (en rojo) se puede dibujar de un solo trazo. Es continua. A la derecha de x=1 la función (en verde) se puede dibujar de un solo trazo. Es continua. Para x = 1  y = 2 (Punto negro). En x=1 la función rompe su continuidad, bajando bruscamente de y=2 a y=1. Decimos entonces que en x=1 presenta una discontinuidad y=x+1 y=1

@ Angel Prieto BenitoMatemáticas Acceso a CFGS3 CONTINUIDAD GRÁFICA Una función se dice que es continua en todo su dominio cuando podamos ser capaces de dibujarla de un solo trazo continuo, sin levantar el lápiz del papel. Ejemplo 1 Ejemplo 2 Ejemplo y=x+1 Función continua en R y=e x Función continua en R y=x – x 3 Función continua en R

@ Angel Prieto BenitoMatemáticas Acceso a CFGS4 CONTINUIDAD GRÁFICA Una función se dice que es continua en todo su dominio cuando podamos ser capaces de dibujarla de un solo trazo continuo, sin levantar el lápiz del papel. Ejemplo 4Ejemplo 5Ejemplo y=2 – x 2 Función continua en R 0 1 y=log x Función continua en R y=√(1 – x) F. continua en (-oo, 1]

@ Angel Prieto BenitoMatemáticas Acceso a CFGS5 1 2 Ejemplo 7 Función continua en R, excepto en x=2 En x=2 hay una discontinuidad, pues la función no existe en dicho punto. x=2 no forma parte del dominio de la función. CONTINUIDAD GRÁFICA x 2 – 3.x + 2 y = x – 2 Ejemplo 8 Función continua en R, excepto en x=1 En x=1 hay una discontinuidad, pues en ese punto su valor es 0. x=1 forma parte del dominio de la función – x 2, si x<>1 y = 0, si x=1

@ Angel Prieto BenitoMatemáticas Acceso a CFGS6 1 0 Ejemplo 9 Función continua en R, excepto en x=0 En x=0 la función existe y vale 1. Pero a la izquierda de 0 la función vale 1 (y=1) y a la derecha del 0 la función vale 0 (y=0). Hay una discontinuidad en x=0, un salto finito. CONTINUIDAD GRÁFICA x + 1, si x≤0 y = – x, si x>0 Ejemplo 10 Función continua en R, excepto en x=0 En x=0 hay una discontinuidad, pues en ese punto no existe la función y a la izquierda del 0 su valor baja hasta – oo. x=0 no forma parte del dominio x 2 – 2, si x<0 y = log x, si x>0

@ Angel Prieto BenitoMatemáticas Acceso a CFGS7 CONTINUIDAD DE FUNCIONES Una función y=f(x) se dice que es continua en un punto x=a, cuando se cumplen tres condiciones: 1) Existe la función en ese punto, existe f(a). Es decir, ‘a’ forma parte del dominio de la función. 2) Existe el límite de la función en dicho punto, lím f(x) x  a Si la función en dicho punto está troceada, el límite por la derecha debe coincidir con el límite por la izquierda para que exista dicho límite. 3) El valor de la función en dicho punto coincide con el límite: f(a) = lím f(x) x  a Como aun no se ha dado el concepto y el cálculo de límites, más adelante se volverá a este esquema para estudiar la continuidad de una función en un punto.