Ecuaciones diferenciales.

Reconoce una ecuación diferencial de la forma y’= f(x,y). Habilidades Reconoce una ecuación diferencial de la forma y’= f(x,y). Verifica si una función f(x) es solución de una ecuación diferencial. Obtiene la solución de una ecuación diferencial. Describe mediante una ecuación diferencial la Interpretación de modelos.

Ecuaciones diferenciales Definición Una ecuación diferencial es aquélla que contiene una función desconocida y una o más de sus derivadas. El orden de una ecuación diferencial es el correspondiente a la derivada de orden más alto que se tenga en la ecuación. Una función f es una solución de una ecuación diferencial, si ésta se cumple cuando se sustituyen y = f(x) y sus derivadas en ella, para todos los valores de x en algún intervalo I. Resolver una ecuación diferencial es hallar todas las soluciones posibles de ella, es decir, hallar la solución general de ella.

Ecuaciones diferenciales Resolver un problema con valor inicial es hallar una solución de una ecuación diferencial que cumpla una condición inicial, y(x0) = y0. Forma general La forma general de una ecuación diferencial de primer orden es:

Ecuaciones diferenciales Ecuaciones de variables separables Una ecuación diferencial de variables separables es una ecuación diferencial de primer orden en la cual la expresión para dy/dx se puede factorizar como: o también como: si g(y) 0.

Ecuaciones diferenciales Resolución de ecuaciones separables Escribimos la ecuación separable en forma diferencial: o también como: si g(y) 0. según sea el caso. Luego integramos, con respecto a y en el miembro izquierdo y con respecto a x en el miembro derecho.

Ecuaciones diferenciales Crecimiento poblacional Se considera que en condiciones de ambiente y suministro alimenticio ilimitados, la rapidez con la cual crece una población es proporcional al tamaño presente de dicha población. Sea A la población inicial. Ecuación diferencial que modela: Función de crecimiento poblacional:

Ecuaciones diferenciales Desintegración radiactiva Se considera que la rapidez con la cual se desintegra un material radiactivo es proporcional a la masa presente de dicho material. Sea m0 la masa inicial del material radiactivo. Ecuación diferencial que modela: Función de desintegración radiactiva:

Ecuaciones diferenciales Trayectorias ortogonales Una trayectoria ortogonal de una familia de curvas es una curva que interseca a cada una de las curvas de dicha familia de forma tal que las rectas tangentes son mutuamente perpendiculares en cada punto de intersección. Familias de trayectorias ortogonales

Ecuaciones diferenciales Si las pendientes de las rectas tangentes de una familia están representadas por y1’ y las pendientes de las rectas tangentes de la otra familia están representadas por y2’, luego: Procedimiento Encuentre y1’ de la primera familia, expresándola únicamente en términos de x e y. Reemplázela en la ecuación anterior y luego despeje y2’. Por último encuentre y2, resolviendo la ecuación diferencial que se obtiene.

Ecuaciones diferenciales Mezclas Un problema típico de mezclado comprende un tanque de capacidad fija V, lleno con una una solución completamente mezclada de una una sustancia con una cantidad y0. Una solución de concentración c entra al tanque a una razón fija v y la mezcla, por completo agitada, sale del mismo a la misma razón. c v V y0

Ecuaciones diferenciales Si y(t) denota la cantidad de la sustancia en el tanque en el instante t, entonces dy/dt es la razón a la cual se agrega esa sustancia menos la razón a la cual se extrae: Razón de entrada: (masa por unidad de volumen entrante) x (volumen por unidad de tiempo) = cv. Razón de salida: (masa por unidad de volumen saliente) x (volumen por unidad de tiempo) = . Ecuación diferencial que modela:

Ecuaciones diferenciales Ecuaciones lineales Una ecuación diferencial lineal es aquella que puede expresarse en la forma: donde P y Q son funciones continuas sobre un intervalo I. Para resolverla multiplicamos sus dos lados por el factor de integración e integramos ambos lados, observando que el lado izquierdo es la derivada de un producto.

Bibliografía “Cálculo de una variable” Cuarta edición James Stewart Secciones 9.1, 9.3, 9.4, 9.6 Ejercicios 9.1 pág 585: 1-12. Ejercicios 9.3 pág 600: 1-18, 23-40. Ejercicios 9.4 pág 610: 1-4, 8-15, 19, 20. Ejercicios 9.6 pág 626: 1-4, 8-15, 19, 33, 34.