Volúmenes de sólidos de revolución Aplicaciones de la Integral
Introducción El cálculo de áreas es una de las aplicaciones de la integral definida. Cálculo de longitud de arco de una curva. Otra aplicación importante es su uso para encontrar volumen de un sólido tridimensional.
Introducción Por lo común se usan sólidos de revolución en ingeniería y manufactura. Algunos ejemplos son ejes, embudos, píldoras, botellas y pistones.
Los sólidos de revolución se generan a partir de regiones planas que giran sobre los ejes. Generalmente se toman como ejes de giro a los ejes coordenados.
MÉTODO DE LOS DISCOS Si una región en el plano gira alrededor de una recta, el sólido resultante es uno sólido de revolución, y la recta se llama eje de revolución. El sólido más simple es un cilindro circular recto o disco que se forma al girar un rectángulo en torno a uno de sus lados.
El volumen de tal disco es V = (área del disco)∗(anchura del disco) = 𝜋 𝑅 2 𝑤 donde 𝑅=𝑟𝑎𝑑𝑖𝑜 𝑑𝑒𝑙 𝑑𝑖𝑠𝑐𝑜, 𝑤=𝑎𝑛𝑐ℎ𝑢𝑟𝑎 𝑑𝑒𝑙 𝑑𝑖𝑠𝑐𝑜.
Para obtener el volumen de un sólido de revolución con el método de los discos, usar una de las fórmulas: Eje de revolución horizontal 𝑉=𝜋 𝑎 𝑏 𝑅 𝑥 2 𝑑𝑥 Eje de revolución vertical 𝑉=𝜋 𝑐 𝑑 (𝑅 𝑦 ) 2 𝑑𝑦
La aplicación más simple del método de los discos involucra una región plana acotada por la gráfica de 𝑓 𝑥 y el eje 𝑥 . Si el eje de revolución es el eje 𝑥 , el radio 𝑅 𝑥 simplemente es 𝑓 𝑥 .