Los números complejos. Ecuaciones irresolubles en R Números complejos Operaciones con números complejos en forma binómica Adición y sustracción Multiplicación División. Números complejos conjugados Potencias de î. Potenciación Reconstrucción de una ecuación con soluciones complejas Números complejos y vectores Expresión de un número complejo Forma polar de un número complejo Forma trigonométrica de un número complejo Números complejos iguales Operaciones de números complejos en forma polar Multiplicación de números complejos en forma polar División de números complejos en forma polar Potenciación de números complejos en forma polar Radicación de números complejos

Ecuaciones irresolubles en R Con los conocimientos que poseemos seriamos capaces de resolver bastantes ecuaciones algebraicas, como por ejemplo: x2 – 2 x - 3 = 0 Que tiene por soluciones x = -1 y x = 3 Sin embargo existen ecuaciones irresolubles en R (números reales), pues por ejemplo la ecuación x2 – 2 x + 3 = 0. Tiene por soluciones x = 1 ±(-2) que no son soluciones reales. Para resolver este tipo de ecuaciones las matemáticas han tenido la necesidad de ampliar los conjuntos numéricos, de tal manera que dichos conjuntos incluyan soluciones como las expuestas en el ejemplo anterior.

Números complejos Un número complejo es un número de la forma z = a + b.î , donde a y b son número reales y î = (-1). Al número a se le denomina parte real, al número b se le denomina parte imaginaria y a î unidad imaginaria. Si b = 0, z = a es un número rel. Si a = 0, z = b.î es un número imaginario puro Con esta notación, podemos representar cualquier número que contenga una raíz negativa, por ejemplo: 3 + (-10) = 3 + 10.î. El conjunto de los números complejos se representa por ℂ, es decir: ℂ = { a + b.î : a, b  ℝ} Ejemplo: Hallar las soluciones complejas de la ecuación x2 – 2 x + 5.

Adicción y sustracción. Para sumar o restar números complejos, basta con sumar o restar sus partes reales y sus partes imaginarias respectivamente, es decir: (a+b.î)  (c+d.î) = (ac) + (bd).î Ejemplo.- Si z1 = 2 – î , z2 = 1 + 3.î. Calcular z1 + z2 y z1 – z2. z1 + z2 = (2+1) + (-1+3).î = 3 + 2.î z1 - z2 = (2-1) + (-1-3).î = 1 - 4.î

Multiplicación Para multiplicar números complejos, se multiplican como si fueran polinomios de variable î, después se agrupan los términos y se sustituye î2 por (-1), ya que î2 = (-1)2 = -1 : (a+b.î) . (c+d.î) = (a.c-b.d) + (a.d+b.c).î Ejemplo.- Si z1 = 2 – î , z2 = 1 + 3.î. Calcular z1 . z2. z1 . z2 = ( 2 – î ) . (1+3.î) = 2.1 + 2.3.î - î.1 – î.3.î = 5 + 5.î

División. Números complejos conjugados. El número complejo conjugado de a + b.î es a – b.î Ejemplo.- El conjugado de 2 + 3.î es 2 – 3.î Para dividir dos números complejos, se multiplica el numerador y el denominador por el conjugado del denominador Ejemplo.- Si z1 = 2 – î , z2 = 1 + 3.î. Calcular z1 / z2.

Potencias de î. Potenciación. Teniendo en cuenta que se cumple: î1 = î î2 = -1 î3 = - î î4 = 1 î5 = î î6 = -1 î7 = - î î8 = 1 Y en general para cualquier número entero k se cumple î4k = î î4k+1 = -1 î4k+2 = - î î4k+3 = 1 La potencia é-nésima de un número complejo a + b.î es decir ( a + b.î) n, consiste en multiplicar n veces a + b.î. Ejemplo.- Calcular (2 – î)3

Reconstrucción de una ecuación con soluciones complejas.  Si una ecuación con coeficientes reales tiene por solución el número complejo a + b.î, también tiene por solución el complejo conjugado a – b.î. Ejemplo.- Construir una ecuación de tercer grado con coeficientes reales, sabiendo que dos de sus soluciones son r1 = 2 y r2 = 1 + 2.î Solución: Como la ecuación buscada tiene también por raíz r3 = 1 – 2.î, será (x – r1).(x - r2).(x – r3) = 0  (x - 2).(x – (1 + 2.î)).(x – (1 - 2.î)) = 0  (x - 2).(x – 1 - 2.î).(x –1 + 2.î) = 0  (x - 2).[(x – 1)2 – (2.î)2] = 0  (x - 2).[x2 – 2.x + 1 + 4] = 0  (x - 2).[x2 – 2.x + 5] = 0  x3 - 4.x2 + 9.x -10 = 0

Números complejos y vectores.  Dado que podemos representar cada número complejo z = a + b.î, en el plano real, representando a en el eje real (eje de abscisas OX) y representado b en el eje imaginario (eje de ordenadas OY), cada número complejo z = a + b.î, viene representado en el plano por el afijo z(a,b) o por el vector Oz Ejemplo.- Los número complejos z1 = 4 + 3.î y z2 = 3 – 2.î tiene por afijos z1(4,3) y z2(3,-2) y el complejo z2 – z1 = (3 – 2.î) – (4 + 3.î) tiene por vector asociado a (-1,-5)

Adición y sustracción gráfica de números complejos complejos.  Teniendo en cuenta que lo números complejos z = a + b.î, lo podemos representar por el vector vz = (a,b). Gráficamente, la suma de dos complejos z1 y z2 será el vector diagonal del paralelogramo de lados z1 y z2 y la resta de dos complejos z1 y z2 será el vector diagonal del paralelogramo de lados z1 y –z2 Ejemplo.- Representar gráficamente gráficamente z1+z2 y z1–z2, siendo z1=1+î y z2=1–2.î

Producto gráfico de un números complejos por î.  Teniendo en cuenta z=a+b.î, lo podemos representar por el vector vz=(a,b). El producto de z.î=(a+b.î).î=-b+a.î, que tiene de afijo (-b,a) representa gráficamente el giro respecto del origen de z de 90º Ejemplo.- Representar gráficamente gráficamente z.î2, siendo z=1+î

Forma polar de un número complejo. Dado un número complejo z = a+b.î de afijo z(a,b) y vector asociadoz(a,b), se define: MÓDULO de z = r = |z(a,b) | = (a2+b2). ARGUMENTO de z =  = ángulo de z con el semieje positivo = arc tg (b/a) De este modo en número complejo, se puede representar en forma polar z(r,) o de forma abreviada z = r. Un número complejo en forma polar z = r, tendrá de forma binómica z = r.cos  + î.r.sen  Ejemplos.- * Dado el número z = -2+2.î, como r = (a2+b2) = 2, y arc tg (b/a) = { 135º, 315º} y se encuentra en el segundo cuadrante, su forma polar abreviada será z = 2315º. * Dado el complejo z = 4150º, su forma binómica z = r.cos  + î.r.sen  = r.cos 150º + r.sen 150º . Î = -2.3+2.î.

Forma trigonométrica de un número complejo. Dado un número complejo z = a+b.î de afijo z(a,b) de modulo r y argumento , su forma trigonométrica será z = r.(cos  + î.sen ) Ejemplo.- Dado el número complejo z = 3+î, como su modulo es r = 2 y como está en el primer cuadrante su argumento es  = arc tg (1/3) = arc tg (3/3) = 30º y su forma trigonométrica será z = 2.(cos 30º + en 30º). î .

Números complejos iguales. Dos números complejos expresados en forma binómica z1 = a+b.î y z2 = c+d.î son iguales si y solo si a = c y b = d. Dos números complejos en forma polar z1 = r y z2 = s son iguales si y solo si r = s y  -  = 360º.k, siendo k un número entero cualquiera Ejemplo.- Para comprobar si son iguales z1 = 2315º y z2 = - 2 + 2.î, utilizando por ejemplo la forma polar, como |z2 | = 2 y arc tg (2/-2 ) = -1 = {135º,315º}, pero como z2 está en el segundo cuadrante, será z2 = 2135º , luego z1  z2

Multiplicación de números complejos en forma polar.  Dados dos complejos z1 = r = r.(cos +î.sen ) y z2 = s = s.(cos +î.sen ), será: z1. z2 = r.s = r.s. (cos +î.sen ).(cos +î.sen ) = = r.s. [ cos .cos  - sen .sen  + î. (sen .cos  + cos .sen  ) ] = = r.s. [ cos (+) + î . sen (+) ] = r.s+ Ejemplo.- Si z1 = 360º y z2 = 230º, será z1.z2 = 3.2(60+30)º = 690º

División de números complejos en forma polar.  Dados dos complejos z1 = r = r.(cos +î.sen ) y z2 = s = s.(cos +î.sen ), será: Ejemplo.- Si z1 = 360º y z2 = 230º, será z1/z2 = (3/2)(60-30)º = (3/2)30º

Potenciación de números complejos en forma polar. Si z = a + b.î tiene su forma polar z = r, teniendo en cuenta el producto de números complejos en forma polar y también que la potencia n-ésima de z (zn) es el producto n veces de z, se obtiene. Ejemplo.- Si z = 2 30º

Radicación de números complejos en forma polar.  Sea el número complejo z = r. Si w = s es una raíz en enésima de z, se tiene que cumplir wn =z, es decir Ejemplo.- Para hallar las raíces cuartas de z=1, como z=1= 1.(cos 0º + î.sen 0º) = 10º. Como

Radicación de números complejos en forma polar.  Si el número complejo z = r. La representación en el plano de las raíces enésimas de z, son los vértices de un polígono regular de n lados cuyo centro es el origen y radio es r1/n. Ejemplo.- Representar en el plano las raíces cuartas de z=1.

Mas ayuda del tema de la página Matemática de DESCARTES del Ministerio de Educación y ciencia (http://recursostic.educacion.es/descartes/web/) En la siguiente diapósitiva

Mas ayuda del tema de la página lasmatemáticas Mas ayuda del tema de la página lasmatemáticas.es Videos del profesor Dr. Juan Medina Molina (http://www.dmae.upct.es/~juan/matematicas.htm) En la siguiente diapósitiva

Mas ayuda del tema de la página Manuel Sada (figuras de GeoGebra) (http://docentes.educacion.navarra.es/msadaall/geogebra/) En la siguiente diapósitiva