Matemáticas Aplicadas CS I ECUACIONES Y SISTEMAS TEMA 4 @ Angel Prieto Benito Matemáticas Aplicadas CS I
ECUACIONES DE PRIMER Y DE SEGUNDO GRADO TEMA 4.1 * 1º BCS @ Angel Prieto Benito Matemáticas Aplicadas CS I
ECUACIONES DE PRIMER GRADO Para resolver una ecuación de primer grado hay que hallar la ecuación equivalente que tenga en uno de sus lados únicamente la incógnita. PRIMER PRINCIPIO DE EQUIVALENCIA: Si en una igualdad sumamos (o restamos) a ambos lados la misma cantidad, la igualdad sigue siendo cierta x - a = b x – a + a = b + a x = b + a SEGUNDO PRINCIPIO DE EQUIVALENCIA: Si en una igualdad multiplicamos ( o dividimos ) a ambos lados la misma cantidad, la igualdad sigue siendo cierta a.x = b a.x / a = b /a x = b / a TERCER PRINCIPIO DE EQUIVALENCIA Si en una igualdad multiplicamos ( o dividimos ) por - 1 a ambos lados, la igualdad sigue siendo cierta. Ello equivale a cambiar todo de signo. - x = a x = - a @ Angel Prieto Benito Matemáticas Aplicadas CS I
Matemáticas Aplicadas CS I Ejemplos 1. Resolver la ecuación: x – 2 = 5 Sumamos 2 a ambos lados, quedando: x – 2 + 2 = 5 + 2 x = 7 2. Resolver la ecuación: x – 2 = x + 5 x – 2 + 2 = x + 5 + 2 x = x + 7 Restamos x a ambos lados, quedando: x – x = x + 7 – x 0 = 7 INCOMPATIBLE 3. Resolver la ecuación: x – 2 = x – 2 x – 2 + 2 = x - 2 + 2 x = x INFINITAS SOLUCIONES @ Angel Prieto Benito Matemáticas Aplicadas CS I
Matemáticas Aplicadas CS I Ejemplos 4. Resolver la ecuación: (x / 3) – 2 = 6 Sumo 2 a ambos lados, quedando: x / 3 = 6 + 2 x / 3 = 8 Multiplico todo por 3, quedando: x = 3.8 x = 24 5. Resolver la ecuación: ( 2.x / 3 ) – 2 = x - 6 Multiplicamos ambos lados por 3, quedando: 3.[(2.x / 3) – 2] = 3.( x – 6) 2.x – 6 = 3.x - 18 Restamos 2.x a ambos lados, quedando: 2.x – 6 – 2.x = 3.x - 18 – 2.x - 6 = x - 18 Sumamos 18 a ambos lados, quedando: – 6 + 18 = x - 18 + 18 12 = x @ Angel Prieto Benito Matemáticas Aplicadas CS I
Matemáticas Aplicadas CS I ECUACIÓN DE 2º GRADO ECUACIÓN DE SEGUNDO GRADO .‑ Es aquella igualdad que, tras pasar todo a un lado de la misma, el polinomio característico es de grado 2. Tiene la forma a.x2 + b.x + c = 0 Donde a, b y c son números, y siempre a<>0 Pueden ser completas o incompletas. a.x2 + b.x + c = 0 a.x2 + b.x = 0 a.x2 + c = 0 @ Angel Prieto Benito Matemáticas Aplicadas CS I
Matemáticas Aplicadas CS I ECUACIÓN DE SEGUNDO GRADO INCOMPLETA Tiene la forma a.x2 + c = 0 Paso 1.- a.x2 = - c Paso 2.- x2 = - c / a Paso 3.- x = +/- √ (- c / a) Dándonos las dos raíces si existen. EJEMPLO_1 Sea x2 - 4 = 0 x2 = 4 x2 = 4 / 1 = 4 x = +/- √ 4 x = 2, x = - 2 EJEMPLO_2 Sea 9.x2 - 16 = 0 9.x2 = 16 x2 = 16 / 9 x = +/- √ (16 / 9) x = 4/3 y x = - 4/3 EJEMPLO_3 Sea 5.x2 - 10 = 0 5.x2 = 10 x2 = 10 / 5 = 2 x = +/- √2 x = √2 y x = - √2 @ Angel Prieto Benito Matemáticas Aplicadas CS I
Matemáticas Aplicadas CS I ECUACIÓN DE SEGUNDO GRADO INCOMPLETA Tiene la forma a.x2 + b.x = 0 Paso 1.- Se extrae factor común x . (a.x + b ) = 0 Se igualan a cero cada uno de los factores Paso 2.- x = 0 es un raíz Paso 3.- a.x + b = 0 de donde x = - b / a es otra raíz EJEMPLO_1 Sea 2.x2 + 8.x = 0 x . (2.x + 8 ) = 0 x = 0 es una raíz 2.x + 8 = 0 x = - 8 / 2 = - 4 es otra raíz EJEMPLO_2 Sea 3.x2 - 8.x = 0 x . (3.x - 8 ) = 0 x = 0 es una raíz 3.x - 8 = 0 x = 8 / 3 es la otra raíz EJEMPLO_3 Sea 2.x2 + √2.x = 0 x . (2.x + √2 ) = 0 x = 0 es una raíz 2.x + √2 = 0 x = - √2 / 2 es la otra raíz @ Angel Prieto Benito Matemáticas Aplicadas CS I
Matemáticas Aplicadas CS I ECUACIÓN COMPLETA Resolución de ecuaciones completas 1.‑ Restamos c a ambos términos: a.x2 + b.x = ‑c 2.‑ Multiplicamos por 4.a a todo: 4. a2 x2 + 4.a.b.x = ‑ 4.a.c 3.‑ Sumamos b2 a ambos términos: 4. a2 x2 + 4.a.b.x + b2 = b2 ‑ 4.a.c (2.a.x + b)2 = b2 ‑ 4.a.c 4.‑ Extraemos la raíz cuadrada: 2.a.x + b = +/- √ (b2 ‑ 4.a.c) 5.‑ Restamos b a los dos términos: 2.a.x = ‑ b + √ (b2 ‑ 4.a.c) 6.‑ Dividimos a ambos términos entre 2.a: ‑ b + √ (b2 ‑ 4.a.c) Con el + hallamos una x = ---‑-------‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑ raíz y con el ‑ la otra 2.a @ Angel Prieto Benito Matemáticas Aplicadas CS I
Matemáticas Aplicadas CS I 1.- Sea x2 - 3.x + 2 = 0 a = 1 ,, b = -3 ,, c = 2 + 3 +/- √(9 – 8) (3 + 1) / 2 = 2 x = ‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑-----‑---‑ = 2 (3 – 1) / 2 = 1 Factorizado: (x – 1).(x – 2)=0 2.- Sea 3.x2 - 5.x + 2 = 0 a = 3 ,, b = -5 ,, c = 2 + 5 +/- √(25 – 24) (5 + 1)/6 = 1 x = ‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑----------‑---‑ = 6 (5 – 1)/6 = 2/3 Factorizado: (x – 1).(x – 2/3)=0 @ Angel Prieto Benito Matemáticas Aplicadas CS I
Matemáticas Aplicadas CS I 3.- Sea x2 - 5.x + 8 = 0 a = 1 ,, b = -5 ,, c = 8 + 5 +/- √(25 – 32) x = ‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑-----‑------‑ = No hay raíces reales 2 Factorizado: No se puede. 4.- Sea 9.x2 - 12.x + 4 = 0 a = 9 ,, b = -12 ,, c = 4 + 12 +/- √(144 – 144) 12/18 = 2/3 x = ‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑----------‑---‑--- = 18 12/18 = 2/3 Las dos raíces son iguales. Factorizado: (x – 2/3).(x – 2/3) = 0 (x – 2/3)2 = 0 @ Angel Prieto Benito Matemáticas Aplicadas CS I
Propiedades de las raíces En CUALQUIER ecuación de segundo grado, se cumple siempre las siguientes propiedades : ‑ b c x + x = ‑‑‑‑‑ ; x . x = ‑‑‑‑‑ 1 2 a 1 2 a ‑ b + √ ( b2 ‑ 4.a.c) ‑ b - √ ( b2 ‑ 4.a.c) x = ‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑----‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑--- ; x = -------------------------- 1 2.a 2 2.a Sumando ambas: ‑ b + √ ( b2 ‑ 4.a.c) ‑ b - √ ( b2 ‑ 4.a.c) x + x = ‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑------- + ---------------------------------- = 1 2 2.a 2.a ‑ b + √ ( b2 ‑ 4.a.c) ‑ b - √ ( b2 ‑ 4.a.c) - 2.b - b = ‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑-------------------------------------- = ------- = ----- 2.a 2.a a @ Angel Prieto Benito Matemáticas Aplicadas CS I
[Fórmulas de Cardano-Vieta] Veamos la segunda propiedad de las raíces: ‑ b c x + x = ‑‑‑‑‑ ; x . x = ‑‑‑‑‑ 1 2 a 1 2 a ‑ b + √ ( b2 ‑ 4.a.c) ‑ b - √ ( b2 ‑ 4.a.c) x = ‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑----‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑--- ; x = -------------------------- 1 2.a 2 2.a Multiplicando ambas: [ ‑ b + √ ( b2 ‑ 4.a.c) ] [ ‑ b - √ ( b2 ‑ 4.a.c) ] x . x = ‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑----------- . --------------------------------= 1 2 2.a 2.a (‑ b) 2 ‑ (√ ( b2 ‑ 4.a.c) ) 2 b 2 ‑ ( b 2 ‑ 4.a.c) 4.a.c c = ‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑----------------- = -------------------------- = -------- = ----- 4.a 2 4.a 2 4.a 2 a @ Angel Prieto Benito Matemáticas Aplicadas CS I