Relaciones proporcionales Proporcionalidad directa e inversa Profesor Claudio Osorio Benavides

Razón Es la comparación de dos cantidades por medio de un cuociente. Ejemplo “Un estudio afirma que en la industria del retail, la cantidad de trabajadores hombres y la cantidad de trabajadoras mujeres está en razón 3 : 4” Esto quiere decir que por cada 3 hombres hay 4 mujeres trabajando

¿Qué otras razones se pueden extraer a partir de la representación? Se puede representar gráficamente como sigue: La razón entre la parte coloreada y el total de partes del entero, están en razón: 3 : 4 ¿Qué otras razones se pueden extraer a partir de la representación? La razón entre las partes no coloreadas y el total de partes del entero La razón entre las partes no coloreadas y la parte coloreada

Valor de la Razón Este valor es importante para identificar o determinar razones equivalentes:

Son razones equivalentes, es decir, si por cada siete trabajadores de la empresa 3 son mujeres y 4 son hombres es equivalente a decir que de 14 trabajadores (el doble) de la empresa 6 son mujeres y 8 son hombres, el doble de cada cantidad respectivamente. En este caso, las razones forman una proporción, es decir, tienen el mismo valor de la razón

Proporcionalidad Se lee: “a es a b como c es a d” Teorema fundamental de proporcionalidad “ Dos razones forman una proporción si y solo si el producto de sus términos extremos es igual al producto de los términos medios” Se lee: “a es a b como c es a d”

Ejercicios resueltos Por lo tanto forman una proporción Determina si la siguiente razón forma una proporción: Por lo tanto forman una proporción

2) Encuentre el valor de x para que las siguientes razones sean equivalentes Comprobación:

División en una razón Las edades de dos hermanos están en razón 1 : 2 . Si la edad de ambos suma 36. ¿Cuántos años tiene cada hermano? Hermano menor Hermano mayor Resolución Respuesta El hermano menor tiene 12 años y el mayor 24 años de edad

3) Dos números suman 45 y están en razón 1 : 2 ¿Cuáles son los números? Los números son 15 y 30

Ejercicio de aplicación a la geometría ¿Son proporcionales las medidas de los lados de los siguientes rectángulos? La razón entre largo y ancho en entre rectángulo es 12 : 6 La razón entre largo y ancho en entre rectángulo es 6 : 3 largo ancho Respuesta: La medida de ancho y largo de los rectángulos son proporcionales

Proporcionalidad directa Note que las variables involucradas son: La cantidad de Kw (variable dependiente) El tiempo (variable independiente) Consumo eléctrico de un hervidor: La siguiente tabla muestra la cantidad de Kw que consume un hervidor común en un hogar de acuerdo al tiempo que se usa. 15 min 30 min 45 min 60 min Hervidor 0,6 1,2 1,8 2,4 Como puedes ver el hervidor consume 0,6 Kw en 15 minutos y 1,2 Kw en 30 minutos Este número se denomina constante de proporcionalidad

Gráfico de proporcionalidad Directa 15 min 30 min 45 min 60 min Hervidor 0,6 1,2 1,8 2,4 K = 0,04

Proporcionalidad Inversa Note que las variables involucradas son: El Tiempo (variable dependiente) Velocidad(variable independiente) Proporcionalidad Inversa Si un automóvil viaja a una velocidad de 100 km/h se demora 4 horas en llegar a su destino. Si viajara a 80 Km/hr, ¿cuánto tiempo se demoraría? Velocidad (km/h) 100 80 50 40 20 10 Tiempo (h) 4 5 8 Note que a medida que una variable aumenta la otra disminuye Propiedad fundamental de la proporcionalidad Inversa: Este número se denomina constante de proporcionalidad

Gráfico de proporcionalidad Inversa Velocidad (km/h) 100 80 50 40 20 10 Tiempo (h) 4 5 8 k=400