Al hallar la raíz cuadrada de un número puede suceder que: Recuerda (I) Al hallar la raíz cuadrada de un número puede suceder que: Tenga dos raíces si el número es positivo. Tenga una raíz, si el número es 0. No exista la raíz, si el número es negativo.

Si el producto de dos números es 0, al menos uno de ellos es cero. Recuerda (II) Si el producto de dos números es 0, al menos uno de ellos es cero. Propiedad distributiva y obtención de factor común

Por tanto: (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 Recuerda (III) Cuadrado de un binomio (a + b)2 = a2 +2ab + b2 (a – b)2 = a2 – 2ab + b2 a b a + b a a + b a2 a . b b (a + b)2 b . a b2 S = a2 + ab + ba + b2 = = a2 + 2ab + b2 S = (a + b)2 Por tanto: (a + b)2 = a2 + 2ab + b2

Definición de ecuación de segundo grado Una ecuación de segundo grado es una ecuación que puede expresarse de la forma general ax2 + bx + c = 0, siendo a, b y c números y a  0. Las soluciones de una ecuación son los valores de x que al ser sustituidos verifican la ecuación.

Ecuaciones incompletas de segundo grado (I) Si en una ecuación de segundo grado ax2 +x + c = 0, alguno de los coeficientes b o c es nulo, se dice que es incompleta. Las ecuaciones incompletas son de la forma: ax2 = 0 ax2 + c = 0 ax2 + bx = 0 Resolución de ecuaciones con b = 0: en este caso las ecuaciones se resuelven directamente, despejando x. b = 0, c = 0 Resuelve 2x2 = 0 Se divide por 2: x2 = 0 Se extrae la raíz cuadrada: x = 0 b = 0 Resuelve 7x2 – 63 = 0 Se suma 63: 7x2 = 73 Se divide por 7: x2 = 9 Se extrae la raíx cuadrada: x = 3, x = – 3

Ecuaciones incompletas de segundo grado (II) Resolución de ax2 + bx = 0: en este caso se descompone en factores sacando factor común x Resuelve 4x2 – 9x = 0 Se saca factor común x: x(4x – 9) = 0 Se iguala a 0 el primer factor: x = 0 Se iguala a 0 el segundo factor: 4x – 9 = 0 La ecuación ax2 + bx = 0 siempre tiene la solución x = 0, siendo su otra solución

Formando cuadrados 4a2x2 + 2(2ax) + b2 = (2ax + b)2

Método general para para ecuaciones de 2º grado Resolución de ax2 + bx + c = 0 Se resta c en los dos miembros: ax2 + bx = – c Se multiplica por 4a: 4a2x2 + 4abx = – 4ac Se busca un cuadrado perfecto en el primer miembro, para lo cual hay que sumar b2 a los dos miembros: 4a2x2 + 4abx + b2 = b2 – 4ac Se expresa el primer miembro como cuadrado perfecto: (2ax + b)2 = b2 – 4ac Se extrae la raíz cuadrada y se tienen dos ecuaciones de primer grado: í ì - = + ac 4 b ax 2 î Se despeja x en ambas ecuaciones:

Determina el número de soluciones Hemos v isto que las soluciones de una ecuación de segundo grado vienen dadas por la relación Discriminante: D Determina el número de soluciones de la ecuación

Factorización

Suma y producto de las raíces A partir de podemos obtener la suma y el producto de la raíces de una ecuación de 2º grado

Ecuaciones bicuadradas Son ecuaciones de cuarto grado de la forma ax4 + bx2 + c = 0 Despejando z obtenemos: De aquí obtenemos las cuatro soluciones posibles de la ecuación bicuadrada:

Ecuaciones incompletas de tercer grado sin témino independiente Al resolver la ecuación de segundo grado obtenemos las tres soluciones

Resolución de ecuaciones por factorización Si P(x) = 0 es una ecuación polinómica y el polinomio P(x) se puede descomponer en factores de primer y segundo grado para resolver, dicha ecuación basta igualar cada uno de los factores a cero y resolver les ecuaciones de primer y segundo grado resultantes. Si P(x) = 0 no tiene ninguna solución entera no se puede usar este método ya que las raíces enteras, si existen, son divisores del término independiente. Al resolver la ecuación de segundo grado obtenemos las tres soluciones

Ecuaciones radicales: pasos a dar Sea aisla un radical en uno de los miembros. Se elevan al cuadrado los dos miembros. Se resuelve la ecuación obtenida. Se comprueba si las soluciones obtenidas verifican la ecuación inicial. Ejemplo: 1 2 3 4 Comprobamos las raíces: Por tanto la ecuación tiene como única solución x = 5