Plano Polar 𝑃𝑂𝑇𝐸𝑁𝐶𝐼𝐴 𝐷𝐸 𝐶𝑂𝑀𝑃𝐿𝐸𝐽𝑂𝑆 𝑍 1 =(2,3𝑖) (𝑍 1 ) 3 =(2,3𝑖) (2,3𝑖) = (𝟐+𝟑𝒊) 𝟑 (𝑍 1 ) 120 = (𝟐+𝟑𝒊) 𝟏𝟐𝟎 =2+3𝑖 Punto cartesiano 𝑭𝑶𝑹𝑴𝑨 𝑷𝑶𝑳𝑨𝑹 𝑫𝑬 𝑼𝑵 𝑵𝑼𝑴𝑬𝑹𝑶 𝑪𝑨𝑹𝑻𝑬𝑺𝑰𝑨𝑵𝑶 (3,4) 4 Punto Polar (4, π/4) (r,α) α r 3 Plano Polar Plano Cartesiano (5, - π/3) Graficar: (4, π/4) (5, - π/3)

Graficar: {(2, π/6) (-1, π/2) (3, -π/3) (-2, - π/4) (1, π) (- 3, π/4) }

Transformación de coordenadas cartesianas a polares Un punto cartesiano se expresa en forma Polar Solo en función del radio y el ángulo (a,b) = (r,𝜶) r² = a² + b² Convierte un punto polar a cartesiano b (a,b) Sen α = → r Sen α = b = (r Cosα, r Sen α ) r a Cos α = → r Cos α = a r r b b Permite transformar la Ecuación Cartesiana a Polar y define el cuadrante del ángulo referencial b α Tag α = ∎ a a Transformar (1,-1) a polar: Asuma siempre el valor de la tangente positivo ( 1, -1) = (r Cosα, r Sen α ) Tag α = 1 → α = 45⁰ r² = (1)² + (-1)² → r = 2 𝛼 𝑒𝑠 𝑠𝑜𝑙𝑜 𝑒𝑙 á𝑛𝑔𝑢𝑙𝑜 𝑟𝑒𝑓𝑒𝑟𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎𝑙 Falta definir el cuadrante donde se encuentra Tag α = - 1

¿En qué cuadrante se encuentra el punto? ( 1, -1) ¿En qué cuadrante se encuentra el punto? En el cuarto cuadrante Luego el ángulo referencial hallado anteriormente α = 45⁰ pertenece al cuarto cuadrante El ángulo referencial puede pertenecer a cualquiera de los cuadrantes por lo tanto: El ángulo referencial es 180 0 −𝛼 El ángulo referencial es el ángulo buscado El ángulo referencial es 360 0 −𝛼 El ángulo referencial es 𝛼 180 0 +𝛼 ( 𝟏, −𝟏)= ( 𝟐 , 𝟑𝟏𝟓 𝟎 )

Argumento del complejo Transformación de coordenadas complejas a polares 𝑍 1 =(−4,3𝑖) = 𝟓 𝟏𝟒𝟑 𝟎 = 𝒓 𝜶 =𝒓( 𝑪𝒐𝒔 𝜶, 𝒊 𝑺𝒆𝒏 𝜶 ) (−4,3) =(𝟓, 𝟏𝟒𝟑 𝟎 ) =(𝒓 𝑪𝒐𝒔 𝜶, 𝒓 𝑺𝒆𝒏 𝜶 ) Forma Polar Forma Trigonométrica 𝑇𝑎𝑔 𝛼 = 3 −4 =− 3 4 𝟓𝟑 𝟎 5 𝑟²=(−4)²+(3)² 3 𝟑𝟕 𝟎 𝒓 = 𝟓 4 𝑻𝒂𝒈 𝜶 = 𝟑 𝟒 𝜶 = 𝟑𝟕 𝟎 𝜶 =𝟏𝟒 𝟑 𝟎 Modulo del complejo (−𝟒,𝟑 )=(𝟓 𝑪𝒐𝒔 𝟏𝟒𝟑 𝟎 , 𝟓 𝑺𝒆𝒏 𝟏𝟒𝟑 𝟎 ) 𝒊 𝒊 Argumento del complejo (−𝟒,𝟑𝒊 )=𝟓 𝑪𝒐𝒔 𝟏𝟒𝟑 𝟎 +𝟓𝒊 𝑺𝒆𝒏 𝟏𝟒𝟑 𝟎 (−𝟒,𝟑𝒊 )=𝟓 (𝑪𝒐𝒔 𝟏𝟒𝟑 𝟎 +𝒊 𝑺𝒆𝒏 𝟏𝟒𝟑 𝟎 ) 𝑍 1 =(−1,−𝑖) =(−𝟏,−𝟏) (−𝟏,−𝒊 )= 𝟐 𝟒𝟓 𝟎 𝑇𝑎𝑔 𝛼 = −1 −1 𝑟²=(−1)²+(−1)² =1 (−𝟏,−𝒊 )= 𝟐 (𝑪𝒐𝒔 𝟐𝟐𝟓 𝟎 +𝒊 𝑺𝒆𝒏 𝟐𝟐𝟓 𝟎 ) 𝑟 = 2 𝜶 = 𝟒𝟓 𝟎 𝜶 = 𝟐𝟐𝟓 𝟎

𝐹𝑜𝑟𝑚𝑢𝑙𝑎𝑠 𝑑𝑒 𝐷𝐸 𝑀𝑂𝐼𝑉𝑅𝐸 𝑍 1 =(𝑎,𝑏𝑖) 𝑍 2 =(𝑐,𝑑𝑖) 𝒓 𝟏𝜶 𝒓 𝟐𝜷 =𝟐 𝟑𝟎 𝟎 =𝟑 𝟏𝟓𝟎 𝟎 𝒓 𝟏 ( 𝑪𝒐𝒔 𝜶+ 𝒊 𝑺𝒆𝒏 𝜶 ) 𝑍 1 . 𝑍 2 = 𝒓 𝟏 . 𝒓 𝟐(𝜶+𝜷) =𝟔 𝟏𝟖𝟎 𝟎 𝟔( 𝑪𝒐𝒔 𝟏𝟖𝟎 𝟎 +𝒊 𝑺𝒆𝒏 𝟏𝟖𝟎 𝟎 ) =−𝟔 𝑍 1 𝑍 2 = 𝒓 𝟏 𝒓 𝟐 (𝛼−𝛽) =( 𝟐 𝟑 ) −𝟏𝟐𝟎 𝟎 = 𝟐 𝟑 = 𝟐 𝟑 ( 𝑪𝒐𝒔 𝟏𝟐𝟎 𝟎 −𝒊 𝑺𝒆𝒏 𝟏𝟐𝟎 𝟎 ) { 𝑪𝒐𝒔 − 𝟏𝟐𝟎 𝟎 +𝒊 𝑺𝒆𝒏 −𝟏𝟐𝟎 𝟎 } = 𝟐 𝟑 ( −𝑪𝒐𝒔 𝟔𝟎 𝟎 −𝒊 𝑺𝒆𝒏 𝟔𝟎 𝟎 ) = 𝟐 𝟑 (− 𝟏 𝟐 −𝒊 𝟑 𝟐 ) = (− 𝟏 𝟑 −𝒊 𝟑 𝟑 )

𝑃𝑂𝑇𝐸𝑁𝐶𝐼𝐴 𝐷𝐸 𝑈𝑁 𝐶𝑂𝑀𝑃𝐿𝐸𝐽𝑂 𝒁 𝟏 =(𝒂,𝒃𝒊) = 𝒓 𝟏𝜶 (𝑍 1 ) 𝑛 = (𝒓 𝟏 ) 𝒏 𝒏𝜶 𝒁 𝟏 = 𝟐 𝟑𝟎 𝟎 (𝑍 1 ) 83 = (𝟐) 𝟖𝟑 = (𝟐) 𝟖𝟑 = (𝟐) 𝟖𝟑 = (𝟐) 𝟖𝟑 ( 𝑪𝒐𝒔 𝟑𝟑𝟎+ 𝒊 𝑺𝒆𝒏 𝟑𝟑𝟎 ) 𝟖𝟑( 𝟑𝟎 𝟎 ) 𝟐𝟒𝟗𝟎 𝟎 𝟑𝟑𝟎 𝟎 = (𝟐) 𝟖𝟑 ( 𝑪𝒐𝒔 𝟑𝟎− 𝒊 𝑺𝒆𝒏 𝟑𝟎 ) 2490|360 𝟔 = (𝟐) 𝟖𝟐 ( 𝟑 − 𝒊 ) 𝟐𝟏𝟔𝟎 𝟑𝟑𝟎