TRIGONOMETRIA Trigonometría es una palabra de etimología griega, aunque no es una palabra griega. Se compone de trigonon que significa triángulo y metria que significa medición. Y se habla de ella como matemática práctica.

RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE ANGULOS AGUDOS CATETO OPUESTO A HIPOTENUSA CATETO CONTIGUO A SENO COSECANTE COSENO SECANTE TANGENTE COTANGENTE

EJEMPLO : TEOREMA DE PITÁGORAS H 12 35

30 grados, 40 minutos y 15 segundos = 30º 40’ 15’’ MEDIDAS DE ÁNGULOS: SISTEMA SEXAGESIMAL La circunferencia se divide en 360 partes iguales. Cada una de ellas es un grado sexagesimal. Cada grado se divide en 60 minutos y cada minuto en 60 segundos. En la calculadora aparece con la denominación DEG Notación: 30 grados, 40 minutos y 15 segundos = 30º 40’ 15’’

RADIANES SISTEMA CENTESIMAL Un radián es la medida del ángulo central cuyo arco mide lo mismo que el radio de la circunferencia Una circunferencia mide 2p radios y como cada radio da lugar a un radián: 360º equivalen a 2p radianes ¿A cuantos grados sexagesimales equivale un radián? 360º ___________ 2p rad xº ___________ 1 rad x = 360º/2p = 57,29º SISTEMA CENTESIMAL Cada cuadrante se divide en 100 partes. En la calculadora aparece con la denominación GRA. Actualmente apenas se utiliza.

Ángulos equivalentes : Como 360º ____ 2p rad entonces 180º ____p rad 90º ____ p/2 rad 30º ____ p/6 rad 60º ______2p/6 =p/3 rad 270º ______ 3p/2 rad Ejemplo: Cuántos radianes son 300º 300º ____ x rad entonces x=300º p /180º = 5p/3 rad p/3 p/6

Circunferencia goniométrica De todos los triángulos rectángulos semejantes, elegimos el de hipotenusa la unidad. De esta manera, el seno y el coseno se identifican con la longitud de los catetos: R = 1 : Observamos que entonces que

Según el Teorema de Thales sus lados son proporcionales, por lo que: Construimos triángulos rectángulos semejantes que contengan al ángulo a. Según el Teorema de Thales sus lados son proporcionales, por lo que: Las razones trigonométricas de un ángulo son independientes del triángulo en el que se calculen. Diremos que las razones trigonométricas son propias de cada ángulo, lo califican y lo diferencian de los demás ángulos.

SENO Y COSENO DE UN ÁNGULO CUALQUIERA. VALORES Y SIGNO. X Y O 1 -1 1 b B El seno y el coseno de cualquier ángulo toma valores mayores o iguales a –1 y menores o iguales a 1 -1 0 1 a A sen a sen b d D g C cos b cos a cos g cos d sen g sen d SIGNO DEL SENO SIGNO DEL COSENO _ + + + _ _ _ +

TANGENTE Y COTANGENTE DE UN ÁNGULO CUALQUIERA. VALORES Y SIGNO. X Y O 1 cotg d cotg b cotg g cotg a B b tg g A a d D g C tg a tg d _ TANGENTE Y COTANGENTE + _ tg b + La tangente y la cotangente de un ángulo puede tomar cualquier valor .

IGUALDADES TRIGONOMÉTRICAS Como hemos visto antes tenemos que Aplicando Pitágoras en el triángulo rectángulo de hipotenusa la unidad: Dividiendo ambos miembros entre cos2a: Y dividiendo entre sen2a: Como consecuencia de la primera igualdad se cumple: -1 ≤ sen a ≤ 1 -1 ≤ cos a ≤ 1

EJEMPLO 1 Sabiendo que  es un ángulo agudo tal que sen=2/3 calcula el cos  y tan

EJEMPLO 2 Sabiendo que α es un ángulo agudo tal que cos α=0,63 calcula el sen α y tan α

EJEMPLO 3 Sabiendo que α es un ángulo agudo tal que tagα=2 calcula el sen α y cosα

RAZONESTRIGONOMÉTRICAS DE 30º, 45º y 60º Triángulo rectángulo isósceles ) ( Triángulo rectángulo mitad de un triángulo equilátero ( )

A su vez el coseno va disminuyendo hasta valer 0 R.T. DE LOS ÁNGULOS 0º Y 90º Observa que al ir aumentando el ángulo hasta 90º el seno va creciendo, hasta llegar a ser 1. Por lo tanto sen 90º = 1 A su vez el coseno va disminuyendo hasta valer 0 cos 90º = 0 radio=1 1 P(x,y) O X Y a Observa que al ir disminuyendo el ángulo hasta 0º el seno va disminuyendo, hasta llegar a ser 0, mientras que el coseno va aumentando hasta valer 1. Es decir, sen 0º = 0 cos 0º = 1 sen a sen a 1 sen a sen a sen a cos a

RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE 0º, 90º, 180º Y 270º Ángulo coseno seno tangente 0º 1 90º ∞ 180º - 1 270º -1

FÓRMULAS TRIGONOMÉTRICAS ÁNGULOS COMPLEMENTARIOS 1) REDUCCIÓN DE ÁNGULOS AL 1er CUADRANTE ÁNGULOS COMPLEMENTARIOS a + b = 90º b = 90º - a sen a = cos ( 90º - a ) cos a = sen ( 90º - a ) tg a = ctg ( 90º - a )

a) ÁNGULOS SUPLEMENTARIOS 2) REDUCCIÓN DE ÁNGULOS AL 20 CUADRANTE a) ÁNGULOS SUPLEMENTARIOS a + b = 180º b = 180º - a sen (180º - a ) = sen a cos (180º - a ) = - cos a tg (180º - a ) = - tg a b) ÁNGULOS a y p/2 + a sen ( p/2 + a ) = cos a cos ( p/2 + a ) = - sen a tg ( p/2 + a ) = - cotg a

3) REDUCCIÓN DE ÁNGULOS AL 3er CUADRANTE a) a y 180º + a sen (180º + a ) = - sen a cos (180º + a ) = - cos a tg (180º + a ) = tg a b) a y 270 - a sen (270º-a) = - cos a cos (270º-a) = - sen a tg (270º-a) = cotg a

RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS CASO 1 : DATOS , HIPOTENUSA y ÁNGULO AGUDO En un triángulo rectángulo, un ángulo agudo mide 27º y la hipotenusa 46m. Halla los dos catetos )

RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS CASO 2 : DATOS ; LOS DOS CATETOS Los dos catetos de un triángulo rectángulo miden 17cm y 40cm. Hallar los ángulos del triángulo )

PROBLEMA 1. Cuando los rayos del sol forman 40º con el suelo, la sombra de un árbol mide de 18m. ¿Cuál es su altura? PROBLEMA 2. Una escalera de 3m está apoyada en una pared. ¿Qué ángulo forman la escalera con el suelo si su base está a 1,2 m de la pared?

ÁNGULOS VERTICALES Los ángulos verticales son ángulos agudos contenidos en un plano vertical y formados por dos líneas imaginarias llamadas horizontal y visual VISUAL ÁNGULO DE ELEVACIÓN ) ) HORIZONTAL ÁNGULO DE DEPRESIÓN VISUAL

EJEMPLO : Una persona observa en un mismo plano vertical dos ovnis volando a una misma altura con ángulos de elevación de 530 y 370 si la distancia entre los ovnis es de 70m ¿A qué altura están los ovnis? SOLUCIÓN 70 h h ) ) ) ) + x