MATEMÁTICAS III INTRODUCCIÓN Las palabras ecuaciones y diferenciales nos hacen pensar en la solución de cierto tipo de ecuaciones que contienen derivadas, es por ello que una de las principales tareas será resolver ecuaciones diferenciales como y’’ + 3y’ + y = 0 cuya incógnita es la función y = (x)

INTRODUCCION A LAS ECUACIONES DIFERENCIALES En cálculo se aprendió que la derivada 𝑑𝑦 𝑑𝑥 de una función 𝑦= Φ 𝑥 es otra función Φ′ 𝑥 que se determina aplicanco una regla adecuada. La función 𝑦= 𝑒 3𝑥 2 es diferenciable en el intervalo (−∞, +∞), y su derivada es 𝑑𝑦 𝑑𝑥 =6𝑥 𝑒 3 𝑥 2 . Si sustituimos a 𝑒 3 𝑥 2 en el lado derecho de la derivada por el símbolo y, obtenemos: 𝑑𝑦 𝑑𝑥 =6𝑥𝑦 (∗) Ahora imagine que solo se le presenta la ecuación ∗ ; y no se tiene idea como se obtubo; así se pregunta : ¿cúal es la función que se representa con el simbolo y? ¿Cómo se resuelve una ecuación y se determina la función incognita 𝒚= 𝜱 𝒙 ?

Definición: Ecuación diferencial Una ecuación que contiene las derivadas de una o mas variables dependientes con respecto a una o mas variables independientes es una ecuación diferencial 𝒅𝒚 𝒅𝒙 +𝟏𝟔𝒚=𝟎 𝒚 ′ +𝟓𝒚= 𝒆 𝒙 𝟐

Clasificación de las Ecuaciones Diferenciales Clasificación según su tipo: Si una ecuación sólo tiene derivadas ordinarias de una o mas variables dependientes con respecto a una sola variable independiente, entonces se dice que es una ecuación diferencial Ordinaria. 𝑑𝑦 𝑑𝑥 +5𝑦= 𝑒 𝑥 ; 𝑑 2 𝑦 𝑑 𝑥 2 − 𝑑𝑦 𝑑𝑥 +6𝑦=0 Una ecuación que contiene las derivadas parciales de una o más variables dependientes, respecto de dos o mas variables independientes, se llama ecuación diferencial en derivadas parciales 𝜕 2 𝑢 𝜕 𝑥 2 + 𝜕 2 𝑢 𝜕 𝑦 2 =0

Clasificación de las Ecuaciones Diferenciales Clasificación según el orden: El orden de una ecuación diferencial (ordinaria o en derivadas parciales) es el de la derivada de mayor orden en la ecuación. Segundo orden primer orden 𝑑 2 𝑦 𝑑 𝑥 2 + 5 𝑑𝑦 𝑑𝑥 3 − 4𝑦 = 𝑒 𝑥

Clasificación de las Ecuaciones Diferenciales Clasificación según su linealidad Se dice que una ecuación diferencial es lineal si: La variable dependiente 𝑦 y todas sus derivadas son de primer grado; esto es, el exponente de todo término donde aparece 𝑦 es 1 Cada coeficiente sólo depende de x, que es la variable independiente. 𝑦 −𝑥 𝑑𝑥+4𝑥 𝑑𝑦=0; 𝑦 ′′ −2 𝑦 ′ +𝑦=0; 𝐸𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛𝑒𝑠 𝑑𝑖𝑓𝑒𝑟𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎𝑙𝑒𝑠 𝑙𝑖𝑛𝑒𝑎𝑙𝑒𝑠 𝑜𝑟𝑑𝑖𝑛𝑎𝑟𝑖𝑎𝑠 𝑑𝑒 𝑝𝑟𝑖𝑚𝑒𝑟 𝑦 𝑠𝑒𝑔𝑢𝑛𝑑𝑜 𝑜𝑟𝑑𝑒𝑛 1 −𝑦 𝑦 ′ +2𝑦= 𝑒 𝑥 ; 𝑑 2 𝑦 𝑑 𝑥 2 +𝑠𝑒𝑛 𝑦=0 𝐸𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛𝑒𝑠 𝑑𝑖𝑓𝑒𝑟𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎𝑙𝑒𝑠 𝑛𝑜 𝑙𝑖𝑛𝑒𝑎𝑙𝑒𝑠 𝑜𝑟𝑑𝑖𝑛𝑎𝑟𝑖𝑎𝑠 𝑑𝑒 𝑝𝑟𝑖𝑚𝑒𝑟 𝑦 𝑠𝑒𝑔𝑢𝑛𝑑𝑜 𝑜𝑟𝑑𝑒𝑛

Solución de una Ecuación Diferencial Ordinaria Definición: Cualquier función 𝜙 definida en un intervalo I que posee al menos n derivadas continuas en I, que al sustituirse en una ecuación diferencial ordinaria de orden n reduce la ecuación a una identidad, es una solución de la ecuación en el intervalo. Ejemplos: Comprobar que la función indicada sea una solución de la ecuación diferencial correspondiente, en el intervalo (−∞, +∞). 𝒅𝒚 𝒅𝒙 =𝒙 𝒚 𝟏/𝟐 ; 𝒚= 𝟏 𝟏𝟔 𝒙 𝟒 𝒚 ′′ −𝟐 𝒚 ′ +𝒚=𝟎; 𝒚=𝒙 𝒆 𝒙 Nota: Una solución de una ecuación diferencial que es idéntica a cero en un intervalo I se llama solución trivial

Solución Implícita de una Ecuación Diferencial Ordinaria Definición: Se dice que una relación G(x, y) = 0 es una solución implícita de una ecuación diferencial ordinaria en un intervalo I, suponiendo que existe al menos una función  que satisface la relación así como la ecuación diferencial en I. Ejemplos: Muestre que 𝑦 2 +𝑥 −3=0 es una solución implícita de 𝑑𝑦 𝑑𝑥 =− 1 2𝑦 en el intervalo −∞,3 Muestre que x 𝑦 3 −x 𝑦 3 𝑠𝑒𝑛 𝑥=1 es una solución implícita de 𝑑𝑦 𝑑𝑥 = (𝑥𝑐𝑜𝑠 𝑥+𝑠𝑒𝑛 𝑥 −1)𝑦 3(𝑥 −𝑥𝑠𝑒𝑛 𝑥) en el intervalo 0, 𝜋 2