Propiedades y aplicaciones de las funciones derivables. Monotonía y derivada de una función Teorema de Rolle Teorema del valor medio de Lagrange Curvatura de una función

Teorema de Rolle Si f es continua en [a,b] y derivable en (a,b) y se cumple f(a) = f(b), entonces, existe un número c perteneciente al intervalo (a,b) tal que f ‘ (c) = 0

Ejemplo.- Si f(x) = x4 – 8x2, como f(-1) = f(1)= - 7, se cumple las condiciones del teorema de Rolle en el intervalo [-1,1], existe un c del intervalo (-1,1) tal que f’(c) =0. Para hallar c, resolvemos la ecuación f’(c) = 4 x 3 – 16 x = 0  x = {-2,0,2} Y tomando c = 0, es f ‘(0) = 0 La interpretación geométrica de este teorema, es que en el intervalo (a,b) existe al menos un punto en el cual la recta tangente a la curva es horizontal

Teorema del valor medio Si f es continua en [a,b] y derivable en (a,b), existe un número c perteneciente al intervalo (a,b) tal que f(b) – f(a) = f ‘ (c) . ( b – a)

Ejemplo.- Si f(x) = x3 – 2 x + 1, como f(-1) = 2; f(1) = 0, y se cumplen las condiciones del teorema del valor medio en el intervalo [-1,1], existe un c del intervalo (-1,1) tal que (f(1)-f(-1)) = f’(c).(1-(-1)) Para hallar c, resolvemos la ecuación (0-2) = f’(c) . (1-(-1))  c = {-3/3, 3/3} y basta tomar c = -3/3 ó c = 3/3 La interpretación geométrica de este teorema, es que existe al menos una tangente paralela a la cuerda que une los puntos (a,f(a)) y (b,f(b))

Ejemplo.- Podemos utilizar la función f(x) = x, para calcular de aproximadamente 51, pues si tomamos el intervalo [49,51], y aplicamos el teorema del valor medio, tendremos la ecuación (51- 49) = (2c) (-1) . (51-49)  51 = 7 + (c) (-1) y teniendo en cuenta que 49 < c < 51  49 (-1) > c (-1) > 51 (-1)  (49)(-1) > (c)(-1) > (51)(-1) Luego 51 = 7 + (49) (-1) = 7,1428 > 7 + (c) (-1) = 51

= 0 es > 0 es

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