@ Angel Prieto BenitoMatemáticas 2º Bachillerato C.S.1 MATEMÁTICAS A. CS II Tema 10 * Integrales definidas

@ Angel Prieto BenitoMatemáticas 2º Bachillerato C.S.2 REGLA DE BARROW Tema 10.2 * 2º BCS

@ Angel Prieto BenitoMatemáticas 2º Bachillerato C.S.3 Sea f(x) una función continua en un intervalo [a, b], entonces existe un punto c perteneciente al intervalo (a, b) tal que: b ∫ f(x) dx = f(c). (b – a) a El valor f(x) se denomina altura media o valor medio de la función en el intervalo [a, b], y puede venir determinado por varios puntos. Si f(x ) es integrable en [a,b], la función t F(t) = ∫ f(x) dx, con t perteneciente a [a,b] 0 Recibe el nombre de función integral TEOREMA DE LA MEDIA a c b

@ Angel Prieto BenitoMatemáticas 2º Bachillerato C.S.4 EJEMPLO Sea f(x) = (1/3).x + 4/3 una función continua en un intervalo [0’5, 3`5], entonces existe un punto c=2 perteneciente al intervalo (0’5, 3’5) tal que: 3,5 ∫ f(x) dx = f(2). (3’5 – 0,5) 0,5 Hallamos f(2): f(2)= (1/3).2 + 4/3 = 2/3 + 4/3 = 6/3 = 2 El área que se origina entre f(x), x=0’5, x=3,5 y el eje de las x ( un trapecio rectángulo) es, según el Teorema de la Media: A = f(2).(3,5 – 0,5) = 2.2 = 4 u 2 Al ser un trapecio lo podemos comprobar: A=(B+b).h/2 = (2’5+1’5).2 / 2 = 2,5+1,5 = 4 TEOREMA DE LA MEDIA 0,5 2 3,5 x f(x)=(1/3).x+4/3

@ Angel Prieto BenitoMatemáticas 2º Bachillerato C.S.5 TEOREMA FUNDAMENTAL DEL CÁLCULO Si f es continua en el intervalo [a,b] y f(x)≥0, y F está definida en dicho intervalo de forma que mide el área sombreada; entonces la función F es derivable y verifica que F’(x) = f(x) para cualquier x de [a, b]. 0 a b X Y F(x) f(x)

@ Angel Prieto BenitoMatemáticas 2º Bachillerato C.S.6 EJEMPLO Sea f(x) = (1/3).x + 4/3 una función continua en un intervalo [0’5, 3`5], entonces existe una función y = F(x) que nos da en todo momento el área entre f(x) y el eje de abscisas, y tal que: F(x) es derivable y cumple F’(x) = f(x) F(x) será una primitiva de f(x) y tal que: F(x)= ∫ f(x) dx = ∫ [(1/3).x + 4/3]dx = = (1/3).∫ xdx + (4/3).∫ dx = = (1/3).x 2 / 2 + (4/3).x + C F(x) es la llamada función integral. F(x) = (1/6).x 2 + (4/3).x TEOREMA FUNDAMENTAL 0,5 2 3,5 x f(x)=(1/3).x+4/3 y = F(x)

@ Angel Prieto BenitoMatemáticas 2º Bachillerato C.S.7 Sea f(x) una función continua en un intervalo [a, b] y supongamos obtenida una primitiva y = F(x) de dicha función. El área que alberga y=f(x) con el eje de abscisas y las coordenadas x= a, x=b, es : Área = F(b) - F(a) Es decir: b b ∫ f(x) dx = F(b) - F(a) = [ F(x) ] a a EJEMPLO ∫ 4.x dx = F(5) - F(2) = [ x ] = = 625 – 16 = 609 u Regla de BARROW

@ Angel Prieto BenitoMatemáticas 2º Bachillerato C.S.8 EJEMPLO 2 π π ∫ cos x dx = F(π ) - F(0) = [ sen x ] = sen π – sen 0 = 1 – 0 = 1 u EJEMPLO 3 2 x x ∫ e dx = F(2) - F(1) = [ e ] = e – e = 7,3890 – 2,7182 = 4,6708 u EJEMPLO ∫ (1/x) dx = F(5) - F(2) = [ ln x ] = ln 5 – ln 1 = 1,6094 – 0 = 1,6094 u Regla de BARROW

@ Angel Prieto BenitoMatemáticas 2º Bachillerato C.S.9 PROPIEDADES DE LA INTEGRAL D. 1.- Sea f(x) una función continua en un intervalo [a, b] y a < c < b Se cumple: b c b ∫ f(x) dx = ∫ f(x) + ∫ f(x) a a c 2.-Sean f(x) y g(x) dos funciones continuas en un intervalo [a, b] Se cumple: b b b ∫ [ f(x) + g(x) ] dx = ∫ f(x) dx + ∫ g(x) dx a a a 3.-Sea f(x) una función continua en un intervalo [a, b] y ‘k’ un nº real. Se cumple: b b ∫ k. f(x) dx = k. ∫ f(x) dx a a

@ Angel Prieto BenitoMatemáticas 2º Bachillerato C.S.10 Si una función f(x) está definida en un intervalo cerrado [a, b] y es: Continua en [a, b] Toma valores de distinto signo en a y en b Entonces: Existe al menos un punto c del intervalo abierto (a,b) tal que f(c)=0 El cumplimiento de este teorema es importantísimo, por ejemplo, para calcular áreas mediante integración de funciones que cumplen con las premisas del Teorema de Bolzano a c b f(b) >0 f(a) <0 f(c) =0 y=f(x) x y Nota: Ya se utilizaba para factorizar funciones polinómicas ( que son siempre continuas en todo R ), por Rufinni, cuando alguna de las raíces no era entera. TEOREMA DE BOLZANO