LABORATORIO DE ESTADÍSTICA Sesión 4 Contingencia, Anova y correlación

EXPERIENCIA 1  Estudio de una tabla de contingencia

¿En qué se parecen estas interrogantes?  ¿Depende de la carrera estudiada el nivel de ingreso percibido por los profesionales?  ¿Depende del colegio de egreso el puntaje obtenido en la PSU?  ¿Depende del sexo la marca de cigarrillo escogida?

 Las preguntas involucran  Una variable  2 variables  Más de dos variables  Para seleccionar su repuesta identifique las variables y la o las poblaciones estudiadas.

RESPUESTA INCORRECTA  Hay dos variables en cada problema  ¿Depende de la carrera estudiada el nivel de ingreso percibido por los profesionales?  El ingreso y la carrera profesional  ¿Depende del colegio de egreso el puntaje obtenido en la prueba de aptitud?  El puntaje de la PSU y el colegio  ¿Depende del sexo la marca de cigarrillo escogida?  La marca de cigarrillo y el sexo

La pregunta que se quiere contestar en cada caso es  ¿Las variables siguen una distribución normal?  ¿La muestra es representativa de la población?  ¿Las variables son independientes ó dependientes? Para seleccionar su repuesta identifique el tipo y el número de variables de interés.

RESPUESTA INCORRECTA  Se busca saber si hay o hay una relación entre las dos variables en cada problema  ¿Depende de la carrera estudiada el nivel de ingreso percibido por los profesionales?  ¿El ingreso depende de la carrera profesional?  ¿Depende del colegio de egreso el puntaje obtenido en la prueba de aptitud?  ¿El puntaje de la PSU depende del colegio donde se estudio?  ¿Depende del sexo la marca de cigarrillo escogida?  ¿Los hombres o las mujeres tienen una preferencia para una marca de cigarrillo?

Una empresa que realiza estudios de mercado decide realizar un estudio que le permitirá decidir el nombre de marca a unos nuevos cigarrillos que serán comercializados. En la encuesta realizada sobre una muestra aleatoria se pide a los encuestados que clasifica cada uno de los 5 nombres: Alezan; Corsario; Fontenoy; Icaro y Zodiaco. con una de las 8 categorías Cuico; Sobrio; Ridículo; Con clase; Distinguido; Vulgar; Masculino; Femenino.

Pregunta a responder en esta experiencia: ¿Depende del nombre propuesto a la nueva marca de cigarrillos la característica asociada por los posibles consumidores?

Tabla de Contingencia Aquí tenemos dos variables X e Y nominales. Construiremos la tabla de contingencia asociada a los datos muestrales, que es la distribución conjunta de frecuencias absolutas no acumuladas

Tabla de datos muestrales 2 variables nominales X : p categorías (A 1,A 2,...,A p ) Y : q categorías (B 1,B 2,...,B q ) Las respuestas (X k,Y k ) del encuestado k son del tipo (A i,B j ) Encuestado XY 1A3A3 B5B5 2A1A1 B4B4... nA2A2 B1B1 Tabla 1

Tabla de contingencia M ij :CANTIDAD DE RESPUESTAS (A i,B j ) p Categorías q CategorÍasq CategorÍas A1A1 A2A2...AjAj.....ApAp Total B1B1 M 11 M 12 M 1. B2B2 M M ij BiBi BqBq M q1 M q. Total M.1 n

¿Qué sucede al pasar de la Tabla 1 de los datos a la tabla de contingencia?  Se pierde solamente la identificación de cada encuestado  Se distorsiona la relación entre las dos variables  Se supone un tipo de distribución sobre las dos variables  Elige una de las 3 repuestas

RESPUESTA INCORRECTA  Se pierde solamente la identificación de cada encuestado  En efecto como el número de alternativas de repuestas de X o Y es finito podríamos reconstruir la Tabla 1 a partir de la tabla de contingencia. Lo que no podemos recuperar es el nombre del encuestado para cada repuesta.

La tabla de contingencia permite estimar la distribución de probabilidad de:  X+Y  X  (X,Y)  Elige una de las 3 repuestas

RESPUESTA INCORRECTA  La repuesta es La distribución conjunta de (X,Y)  En efecto las proporciones M ij /n, que son las frecuencias relativas de encuestados que contestaron (A i, B j ), estiman las probabilidades de la distribución conjunta

¿Cómo podemos concluir sobre la independencia de X e Y a partir de las frecuencias observadas M ij ? Si X e Y son independientes, las probabilidades P ij cumplen: 1 2 las probabilidades P ij son todas iguales

RESPUESTA INCORRECTA  La repuesta es  En efecto la distribución conjunta es el producto de las distribuciones marginales cuando hay independencia

 Tenemos entonces que estimar las probabilidades P ij bajo la hipótesis nula H o de independencia: con

¿Cuantos parámetros se tienen que estimar para obtener las probabilidades ?  p*q parámetros  p+q-2 parámetros  p+q parámetros

RESPUESTA INCORRECTA  La repuesta es p+q-2 parámetros  En efecto hay p parámetros para las categorías de X, pero basta estimar P(X=A 1 ), P(X=A 2 ),..., P(X=A p-1 ) y deducir la estimación de P(X=A p ) de manera que las probabilidades suman 1. Es decir son p-1 estimaciones y q-1 para la variable Y.

TEST  Consideramos las dos hipótesis:  H 0 : X e Y son independientes  H 1 : X e Y tienen algún grado de dependencia  El estadístico del Test es:

 Si Qo es el valor observado en la muestra, se rechaza H o si  1  2  3

RESPUESTA INCORRECTA  La repuesta es  2  En efecto si el valor Qo encontrado en la muestra es muy improbable cuando X e Y son independientes, podemos esperar que las variables tengan algún tendencia a relacionarse.

Comandos Statit Trabajaremos con el archivo: "Cigarros.wrk”, el cual contiene la encuesta de mercado la cual recolectó 698 opiniones. Realiza el test de tabla de contingencia con Statit: Statistics:  Enumerative Data  Contingency Data  Analyse of Independence  Raw variable: ”Percepcion”;  Column variable: “Marca”  Layout of Table:  Display Column Percentage

 Concluye si tenemos suficiente evidencia para rechazar que la marca es independiente de la percepción  Se rechaza la independencia  Se acepta la independencia

RESPUESTA INCORRECTA La repuesta es Se rechaza la independencia En efecto el p-valor se obtiene de la tabla Statistic DF Value Prob ÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄ Chi-Square

 Veamos ahora si podemos definir una relación entre la marca y su percepción:  Examine la tabla de contingencia, y  responda la pregunta 1 del test

EXPERIENCIA 2  Anova de un factor

Búsqueda de una droga para controlar el pulso de pacientes  Ahora estamos interesados en comparar tratamientos para bajar el pulso  Se mide el pulso de pacientes después del tratamiento A, B o C

Procedimientos  Se calcularán algunos estadísticos para comparar las distribuciones del pulso de los 3 tratamientos Las medias y varianzas por grupo  Se graficará un Box plot para comparar las distribuciones del pulso de los 3 tratamientos

Comandos Statit  Abra el archivo “pulso1.wkr” Statistics  Descriptive tools  Multi-way Univariate Statistics:  Analysis Variable: “pulso”;  Class Variable: “Tratamiento”  Statistics:  Mean y  Standard Desviation  Layout of Table:  Display a summary table...

Comandos Statit  Para la realizacion del gráfico:  En Statit con el archivo “pulso1.wkr”: Graphics  Distribution Plots  Box Plot:Variables: “pulso”; DisplayBox: “By group”; Group variable: “Tratamiento”  Examine los estadísticos y el gráfico. Responde a la pregunta 2 del test

Para confirmar las conclusiones anteriores se propone hacer un test para rechazar la hipótesis:  Las varianzas del pulso en los 3 grupos son iguales  Las medias del pulso en los 3 grupos son iguales  La media del tratamiento C es el promedio de las medias de los tratamientos A y B  Elige una de las 3 repuestas

RESPUESTA INCORRECTA  La repuesta es Las medias del pulso en los 3 grupos son iguales.  En efecto es lo primero que se pregunta. Después se puede ver las otras preguntas.

ANOVA  Consideramos las dos hipótesis  H 0 : μ 1 =μ 2 =μ 3  H 1 : las medias no son iguales  Para probar una u otra hipótesis vamos a comparar las varianzas de las medias con las varianzas de los 3 grupos

 Varianza para el tratamiento j:  Varianza promedio de los 3 grupos:  Varianza de las 3 medias:  Varianza Total:

Entonces, elige una de las 3 repuestas

RESPUESTA INCORRECTA  La repuesta es  (1) b=0  Además T=w+b  Si q es el numero de grupos, el estadístico : del test es:

 Para rechazar la hipótesis nula, se espera un estadístico F  Grande  Chico

RESPUESTA INCORRECTA  La repuesta es  Grande. Ya que si la hipótesis nula es cierta b=0. Un valor de F grande aleja de la hipótesis nula.

Comandos Statit  En Statit: Statistics  ANOVA  OneWay  Dependente Variable: ”Pulso”;  Classification Variable: “Tratamiento”  Examine los resultados y concluya sobre la hipótesis nula de igualdad de la medias.

LA RAZÓN DE CORRELACIÓN  Utilizando el hecho que T=b+w, se construye  Un índice llamado razón de correlación  2 =b/T  Que vale 1 cuando w=0 0 cuando b=0  Utilizando la tabla ANOVA calcule este índice y responda el test

EXPERIENCIA 3  Coeficiente de correlación

Se busca estudiar la relación entre el peso y la talla de un grupo de niñas  Queremos estudiar el efecto de la edad sobre la relación entre el peso y la talla de las niñas

Si {(xi, yi)|i=1,2,...,n} son los pesos y tallas de las niñas, el coeficiente de correlación lineal se escribe: Si r=1  X e Y son independientes  X e Y son linealmente dependientes

RESPUESTA INCORRECTA  La repuesta es  X e Y son linealmente dependientes  En efecto, utilizando la desigualdad de Schwarz, se tiene r=1 cuando se alcanza la igualdad, lo que corresponde a la colinealidad de los n puntos  Además si r=-1, se tiene colinealidad también pero de signo negativo. Es decir que en este caso, si X crece, Y decrece.

Con los datos “Sempe1.wkr”, calcule el coeficiente de correlación entre el peso y la talla  En Statit:  Statistics  Regresion and Correlation  Correlation coefficiente  Variables: ”Peso” y “Talla”  Observe el valor y el signo del Coeficiente de correlación

 El calculo anterior fue considerando todas las edades juntas  Repetimos el calculo del coeficiente para una edad dada: por ejemplo 10 u otra  En Statit:  Statistics  Regresion and Correlation  Correlation coefficientes  Variables: ”Peso” y “Talla”  Local selection: edad==10  Responda el test