PUNTOS Y VECTORES EN EL PLANO

GEOMETRIA ANALÍTICA INTRODUCCIÓN AL TEMA Lo que vamos a ver ahora son los conceptos que tenemos que tener claros a la hora de hablar y operar con vectores, que nos seran utiles para la geometría analítica y la resolución de problemas de este tema. El desarrollo del álgebra y la maduración de su cálculo simbólico durante los siglos XV y XVI propicio que Descartes y Fermat en el siglo XVII pudiesen concebir la utilización del álgebra para resolver problemas geometricos, crando asi la geometria analitica. Como ya vimos en el tema pasado, los vecotres son una herramienta muy util en la geometria...

Sistema de referencia en el plano -Sirve para expresar analíticamente puntos y, después figuras planas. -Un sistema de referencia consiste en el conjunto  R={o,(î , ĵ)} -A cada punto P del plano se le asocia un vector OP, y tiene unas cordenadas (a,b) que se escriben P(a,b)  Ahora voy a enseñar como construir sistemas de referencia con vectores, con estos sistemas de referencia podemos expresar analiticamente puntos y despues figuras geometricas. Un sistema  de referencia consiste en el conjunto R={o,(î , ĵ)} formado por o un punto fijo llamado origen e i y j que es la base de un vector. A cada punto P se le asocia el vector OP de coordenadas (a,b) que se escriben P(a,b)

Vector posición Representa la posición y desplazamiento de un objeto. Esta simbolizado por r. Viene dado por un Origen, O, y un punto, P. El vector posición es utilizado, para representar la posición de algo y esta simbolizado con la letra r. La diferencia del vector posición entre dos posiciones recibe el nombre del vector desplazamiento y se designa por Delta de r. El vector posición siempre viene dado por un origen, al que llameremos O y un punto, que es la posición del objeto, unidos mediante una flecha. El vector r, por tanto es igual al vector OP, que es igual, a xi+yj+zk siendo x,y,z las coordenadas cartesianas e i,j,k los vectores unitarios.

Vector dirección -Llamamos vector director de una recta a un vector paralelo a esa recta  -Una recta tiene infinitos vectores director. -Hay dos métodos para hallar un vector director de la recta r .     . OB - OA     .v - w Los vectores sirven también para marcar las direcciones  de rectas . Un vector paralelo a una recta se dice que es un vector director de ella. Por esta razón una recta tiene infinitos vecotres de dirección. para hallar el vector director de una recta cogemos dos puntos cualesquiera de la recta y restamos sus coordenadas obteniendo asi un vectorn director. otro metodo  es fijar un origen escribir los vectores desde ese origen a cada uno de los puntos elegidos de la recta y posteriormente restar dichos vectores.

Coordenadas del vector que une dos puntos La distancia entre dos puntos es igual al módulo del vector que une dichos puntos. Si queremos hallar la distancia entre dos puntos de posiciones distintas, A y B, tendríamos que hallar el módulo del vector que forman dichos puntos haciendo la resta del sus coordenadas x, y la resta de sus coordenadas y, elevandolas al cuadrado y sumando dichos resutados para luego hacerle la raíz cuadrada.

Condición para que tres puntos estén alineados -La condición es que los vectores que las unan tengan la misma dirección. -Sus coordenadas tienen que ser proporcionales. AB=(1,2)-(-1,1)= =(2,1) BC=(3,3)-(1,2)=   =(2,1) La condición para que tres puntos esten alineados es que los vectores que los unen tengan la misma direccion es decir cuando sus coordenadas son proporcionales.

Punto medio de un segmento Las coordenadas del punto medio de un segmento son la semisuma de las coordenadas de los extremos. Las coordenadas del punto medio de un segmento son la semisuma de las coordenadas de los extremos. Es decir  si OA + OB = OS es la diagonal del paralelogramo OASB, las diagonales de dicho paralelogramo se cortan por por sus puntos medios entonces: OM = 1/2 OS=1/2(OA+OB)=(ecuacion descrita en diapositiva)

Simetria de un punto respecto a otro -Si A' es el simétrico de A respecto de M, entonces M es el punto medio del segmento AA' Si A(x,y) , M(a,b) A'(x',y') -Si A' es el simétrico de A respecto de M, entonces M es el punto medio del segmento AA' Despejando x' e y' obtenemos las coordenadas de A' en función de las coordenadas de A y de P