CONTENIDOS TRIGONOMETRIA BASICA: + ANGULOS Y SUS MEDIDAS INGENIERIA EN PREVENCION DE RIESGOS Y MEDIO AMBIENTE CONTENIDOS TRIGONOMETRIA BASICA: + ANGULOS Y SUS MEDIDAS + TRIANGULOS CONCEPTOS BASICOS + SENO, COSENO Y TANGENTE Y SUS FUNCIONES RECIPROCAS + TEOREMA DE PITAGORAS, LEY DEL SENO TEOREMA DEL COSENO + APLICACIONES INGENIERILES Sede Santiago Padre Miguel de Olivares 1625, Santiago Centro Prof. Marco A. Vildoso F.

¿Qué es un ángulo? ¿Cual es su notación? INGENIERIA EN PREVENCION DE RIESGOS Y MEDIO AMBIENTE ¿Qué es un ángulo? Son dos rayos cualesquiera que determinan dos regiones del plano. ¿Cual es su notación? Para nombrar los ángulos, utilizaremos los símbolos  abc en donde el angulo estaria en el vertice “b” . Podemos además nombrarlos mediante una letra griega “β”. También se puede nombrar por la letra que represente al vértice. Sede Santiago Padre Miguel de Olivares 1625, Santiago Centro Prof. Marco A. Vildoso F.

¿Cómo pueden ser los ángulos? INGENIERIA EN PREVENCION DE RIESGOS Y MEDIO AMBIENTE ¿Cómo pueden ser los ángulos? (Definición de cada uno) Nulos: Si su medida es Cero Agudos: Si su medida esta comprendida entre 0° y 90°. 1 1 Rectos: si su medida es 90° Obtusos: Si su medida esta comprendida entre 90° y 180°. 1 Sede Santiago Padre Miguel de Olivares 1625, Santiago Centro Prof. Marco A. Vildoso F.

¿Cuál es el instrumento para medir un ángulo y en que consiste? INGENIERIA EN PREVENCION DE RIESGOS Y MEDIO AMBIENTE ¿Cuál es el instrumento para medir un ángulo y en que consiste? El transportador en el cual consiste en un semicírculo dividido en unidades que van desde 0 hasta 180. Cada una de estas medidas es un grado (1°) sexagesimal y todas las medidas que se tomen con este instrumento corresponden al sistema sexagesimal. Sede Santiago Padre Miguel de Olivares 1625, Santiago Centro Prof. Marco A. Vildoso F.

INGENIERIA EN PREVENCION DE RIESGOS Y MEDIO AMBIENTE ANGULOS EN GRADOS ES LA MEDIDA DE ANGULOS MAS UTILIZADA EN EL MUNDO ENTERO, PERO NO ES LA UNICA, ESTA CONSISTE EN QUE LOS CUATRO CUADRANTES DEL PLANO CARTESIANO QUEDAN TOTALIZADOS EN 360°, CADA CUADRANTE ENTONCES SERA UN APORTE DE 90°, POR ESO: PRIMER CUADRANTE: DE 0° A 90° SEGUNDO CUADRANTE: DE 90° A 180° TERCER CUADRANTE: DE 180° A 270° CUARTO CUADRANTE: DE 270° A 360° Sede Santiago Padre Miguel de Olivares 1625, Santiago Centro Prof. Marco A. Vildoso F.

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INGENIERIA EN PREVENCION DE RIESGOS Y MEDIO AMBIENTE ANGULOS EN RADIANES ES LA MEDIDA DE ANGULOS UTILIZADA PARA GRAFICAR LAS FUNCIONES TRIGONOMETRICAS, ESTA CONSISTE EN QUE LOS CUATRO CUADRANTES DEL PLANO CARTESIANO QUEDAN TOTALIZADOS EN 2¶ RADIANES°, POR ENDE CADA CUADRANTE, ENTREGARA UN APORTE DE ½ ¶ RADIAN°, POR ESO: PRIMER CUADRANTE: DE 0 A ½ ¶ RAD SEGUNDO CUADRANTE: DE ½ ¶ A ¶ RAD TERCER CUADRANTE: DE ¶ A ¶ RAD CUARTO CUADRANTE: DE ¶ A 2 ¶ Sede Santiago Padre Miguel de Olivares 1625, Santiago Centro Prof. Marco A. Vildoso F.

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INGENIERIA EN PREVENCION DE RIESGOS Y MEDIO AMBIENTE ANGULOS EN GRADIANES ES LA MEDIDA DE ANGULOS UTILIZADA PARA GRAFICAR LAS COORDENADAS MARINAS, ESTA CONSISTE EN QUE LOS CUATRO CUADRANTES DEL PLANO CARTESIANO QUEDAN TOTALIZADOS EN 400 GRADIANES, POR ENDE CADA CUADRANTE, ENTREGARA UN APORTE DE 100 GRADIANES POR ESO: PRIMER CUADRANTE: DE 0 A 100 GRAD SEGUNDO CUADRANTE: DE 100 A 200 GRAD TERCER CUADRANTE: DE 200 A 300 GRAD CUARTO CUADRANTE: DE 300 A 400 GRAD Sede Santiago Padre Miguel de Olivares 1625, Santiago Centro Prof. Marco A. Vildoso F.

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Operaciones con ángulos INGENIERIA EN PREVENCION DE RIESGOS Y MEDIO AMBIENTE Operaciones con ángulos (suma y resta) Suma de Ángulos La suma de dos Angulo, ABC y DBE es otro ángulo ABE tal que: m ABE = m ABC + m DBE. EJERCICIO: Un ángulo mide 49° 38´45” y otro 31° 54´18”. ¿Cuánto mide la suma de estos ángulos? Sede Santiago Padre Miguel de Olivares 1625, Santiago Centro Prof. Marco A. Vildoso F.

INGENIERIA EN PREVENCION DE RIESGOS Y MEDIO AMBIENTE DESARROLLO 63” = 60” + 3“ = 1´ + 3” Se sube 1´ a la columna de los minutos y se suma a estos. Quedan 3´. 1° 1´ 49° 38´ 45” 31° 54´ 18” 80° 93´ 63” 80° 92´ 63” 33´ 3” 93´ = 60´ + 33’ = 1° + 33’ Se sube 1° a la columna de los grados, y se suma a estos. Quedan 33’. La suma buscada es 81° 33’ 3”. Sede Santiago Padre Miguel de Olivares 1625, Santiago Centro Prof. Marco A. Vildoso F.

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Clases de ángulos en termino de sus medidas INGENIERIA EN PREVENCION DE RIESGOS Y MEDIO AMBIENTE Clases de ángulos en termino de sus medidas Ángulos Suplementarios: Dos ángulos son suplementarios si la suma de sus medidas es 180°. Ángulos Complementarios: Dos ángulos son complementarios si la suma de sus medidas es 90°. Sede Santiago Padre Miguel de Olivares 1625, Santiago Centro Prof. Marco A. Vildoso F.

Ángulos opuesto por el vértice INGENIERIA EN PREVENCION DE RIESGOS Y MEDIO AMBIENTE Ángulos opuesto por el vértice Dos ángulos son opuesto por el vértice si sus lados forman dos pares de rayos opuestos. θ θ Sede Santiago Padre Miguel de Olivares 1625, Santiago Centro Prof. Marco A. Vildoso F.

Clasificación de los triángulos por sus lados INGENIERIA EN PREVENCION DE RIESGOS Y MEDIO AMBIENTE Clasificación de los triángulos por sus lados (definición de cada uno y sus gráficas) Triángulos Escálenos: No tienen ningún lado igual. Sede Santiago Padre Miguel de Olivares 1625, Santiago Centro Prof. Marco A. Vildoso F.

Triángulos Isósceles: Son los que tienen dos lados iguales. INGENIERIA EN PREVENCION DE RIESGOS Y MEDIO AMBIENTE Triángulos Isósceles: Son los que tienen dos lados iguales. Triángulos Equiláteros: Son los que tienen tres lados iguales. Sede Santiago Padre Miguel de Olivares 1625, Santiago Centro Prof. Marco A. Vildoso F.

Clasificación de los triángulos por sus ángulos INGENIERIA EN PREVENCION DE RIESGOS Y MEDIO AMBIENTE Clasificación de los triángulos por sus ángulos (definición de cada uno y sus gráficos) Acutángulos: Son todos los triángulos con todos los ángulos menores de 90° Sede Santiago Padre Miguel de Olivares 1625, Santiago Centro Prof. Marco A. Vildoso F.

Rectángulos: Es cuando uno de sus ángulos es de 90°. INGENIERIA EN PREVENCION DE RIESGOS Y MEDIO AMBIENTE Rectángulos: Es cuando uno de sus ángulos es de 90°. Obtusángulos: Es cuando uno de sus ángulos es mayor de 90° Sede Santiago Padre Miguel de Olivares 1625, Santiago Centro Prof. Marco A. Vildoso F.

Diferentes tipos de rectas INGENIERIA EN PREVENCION DE RIESGOS Y MEDIO AMBIENTE Diferentes tipos de rectas (definición de cada una y sus gráficos) Secante o Transversal: Es la recta que corta a otro par de rectas cualesquiera del plano en dos puntos. 2 1 4 3 5 6 7 8 Sede Santiago Padre Miguel de Olivares 1625, Santiago Centro Prof. Marco A. Vildoso F.

INGENIERIA EN PREVENCION DE RIESGOS Y MEDIO AMBIENTE Paralelas: Es cuando la intersección de dos rectas y una secante determina pares de ángulos alternos internos, alternos externos y correspondiente congruentes. L L1 1 2 3 4 L2 8 7 5 6 Sede Santiago Padre Miguel de Olivares 1625, Santiago Centro Prof. Marco A. Vildoso F.

INGENIERIA EN PREVENCION DE RIESGOS Y MEDIO AMBIENTE Perpendiculares: Es cuando la intersección de dos rectas determina un ángulo recto entre ellas (por ende 4 ángulos rectos). L1 2 1 L2 3 4 Sede Santiago Padre Miguel de Olivares 1625, Santiago Centro Prof. Marco A. Vildoso F.

INGENIERIA EN PREVENCION DE RIESGOS Y MEDIO AMBIENTE TEOREMA DE PITAGORAS Aplicable solamente, para triángulos rectángulos Siendo “a” y “b” los catetos del triangulo y “c” la hipotenusa (lado mayor) a2 + b2 = c2 c b θ a Sede Santiago Padre Miguel de Olivares 1625, Santiago Centro Prof. Marco A. Vildoso F.

INGENIERIA EN PREVENCION DE RIESGOS Y MEDIO AMBIENTE TEOREMA DEL COSENO Aplicable para cualquier tipo de triángulos Siendo “a” , “b” y “c” los lados de un triangulo cualquiera a2 = b2 + c2 - 2bc Cos α b2 = a2 + c2 - 2ac Cos β c2 = a2 + b2 - 2ab Cos γ Sede Santiago Padre Miguel de Olivares 1625, Santiago Centro Prof. Marco A. Vildoso F.

INGENIERIA EN PREVENCION DE RIESGOS Y MEDIO AMBIENTE LEY DEL SENO Aplicable para cualquier tipo de triángulos Siendo “a” , “b” y “c” los lados de un triangulo cualquiera a b c --------- = --------- = --------- Sen α Sen β Sen γ Sede Santiago Padre Miguel de Olivares 1625, Santiago Centro Prof. Marco A. Vildoso F.

INGENIERIA EN PREVENCION DE RIESGOS Y MEDIO AMBIENTE FUNC. TRIGONOMETRICAS Siendo “a” y “b” los catetos del triangulo y “c” la hipotenusa (lado mayor) C. O. b Sen θ = --------- = --------- c HIP. c b θ C. A. a Cos θ = --------- = --------- a HIP. c C. O. b Tag θ = --------- = --------- C.A. a Sede Santiago Padre Miguel de Olivares 1625, Santiago Centro Prof. Marco A. Vildoso F.

INGENIERIA EN PREVENCION DE RIESGOS Y MEDIO AMBIENTE FUNC. RECIPROCAS Siendo “a” y “b” los catetos del triangulo y “c” la hipotenusa (lado mayor) HIP. c --------- = --------- Cosec θ = c C.O. b b θ HIP. c Sec θ = --------- = --------- a C.A. a C. A. a Cotag θ = --------- = --------- C.O. b Sede Santiago Padre Miguel de Olivares 1625, Santiago Centro Prof. Marco A. Vildoso F.

INGENIERIA EN PREVENCION DE RIESGOS Y MEDIO AMBIENTE VALORES ELEMENTALES 0º 30º 45º 60º 90º sen 1 / 2 1 / √2 √3 / 2 1 cos 1/ √2 tg 1 /√3 √3 --- cosec 2 / 1 √2 2 / √3 sec 2 cotg √3 / 1 1 / √3 Obtenga UD. los valores para los ángulos de 180°, 270° y 360° y de 120°, 135°, 240° y 300° Comente los resultados. Sede Santiago Padre Miguel de Olivares 1625, Santiago Centro Prof. Marco A. Vildoso F.

A EJERCITAR LO APRENDIDO INGENIERIA EN PREVENCION DE RIESGOS Y MEDIO AMBIENTE A EJERCITAR LO APRENDIDO 1) Transformar los ángulos de grados a rad y viceversa: a) 80º b) 150º c) d) 2) Dada la siguiente función trigonométrica, obtenga los valores de las otras funciones. 3) Resolver un triángulo tal que a = 4.5 cm, β =30º y γ = 78º. 4) Resolver un triángulo tal que, α = 50, β = 60º, γ = 70º con el lado a = 10 cm. Sede Santiago Padre Miguel de Olivares 1625, Santiago Centro Prof. Marco A. Vildoso F.

INGENIERIA EN PREVENCION DE RIESGOS Y MEDIO AMBIENTE 5) En una competencia de natación dos amigos parten lanzándole al agua desde una balsa al mismo tiempo, el primero nada a una velocidad promedio de 6 km/h y el segundo a 5 km/h. Comienzan a alejarse entre sí con un ángulo de 35°; después de media hora de competencia el segundo sufre un calambre. ¿Qué distancia recorrerá el primero para ir en su auxilio y que án­gulo tendrá la nueva dirección de este? 6) Halla el radio r de una rueda que gira 300 vueltas por minuto impulsada por una correa que se mueve a 45 m/s. 7) La rueda de un vehículo tiene un diámetro de 90 cm. ¿Cuántas vueltas da aproximadamente por minuto cuando viaja a 120 km/h? 8) ¿Qué ángulo forman las agujas de un reloj a las cuatro y media en punto? Y a las 10:20 hrs.? Sede Santiago Padre Miguel de Olivares 1625, Santiago Centro Prof. Marco A. Vildoso F.

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