M. en C. René Benítez López El plano cartesiano M. en C. René Benítez López (Versión preliminar) Departamento de Matemáticas Universidad Autónoma Metropolitana-Iztapalapa Trimestre 04-P

Coordenadas de un punto Frecuentemente, para ubicar la posición de un objeto en un plano, se considera un punto de referencia llamado origen, por el cual se trazan dos ejes perpendiculares como se muestra enseguida: Eje vertical 1 2 3 Distancia de la casa al eje vertical Distancia de la casa al eje horizontal Origen Eje horizontal 1 2 3 4 5 Observa que cada eje es una copia de la recta numérica. La distancia de la casa al eje horizontal es 3 unidades. La distancia de la casa al eje vertical es 4 unidades. Los números 3 y 4 forman una pareja que se ordena (4, 3) y se llama las coordenadas del punto en el cual se ubica la casa.

Al eje horizontal se le llama eje de las abscisas o eje de las x, y al eje vertical se le llama eje de las ordenadas o eje de las y, a un diagrama coordenado como el anterior se le llama sistema de coordenadas cartesianas o plano cartesiano. Una pareja ordenada se puede localizar en el plano, teniendo en cuenta que cada pareja denota un recorrido desde el origen hacia la derecha o hacia la izquierda; y luego, hacia arriba o hacia abajo, dependiendo ello del signo de cada coordenada o componente de la pareja. Ejemplo 1 Localizar en el plano cartesiano el punto de coordenadas (3, 2) y (3, 2) x

Ejemplo 2 Localizar en el plano cartesiano el punto de coordenadas (-3, -2) y x (-3, -2)

Ejemplo 3 En el diagrama adjunto, ¿cuál es la posición de cada uno de los aviones? Ejemplo 4 En el diagrama adjunto, ¿cuáles son las coordenadas de los vértices de cada polígono.?

Distancia entre dos puntos La distancia d entre dos puntos y se determina mediante el teorema de Pitágoras así:

A D C B Ejemplo 5 P R Q Calcule el perímetro y el área de cada polígono de la figura adjunta. El perímetro del triángulo es: Y su semiperímetro p es: Entonces usando la fórmula del área de un triángulo del matemático griego Herón de Alejandría (Siglo I DC), se tiene que el área del triángulo ADC es

en donde p es el semiperímetro del triángulo ADC, y AC, CD y DA son las medidas de los lados de dicho triángulo. Entonces: Similarmente se obtiene que

El perímetro del triángulo ABC es: Y su área es: El perímetro del triángulo PQR es: Y su área es: El perímetro del trapecio es: El área del trapecio ABCD es:

División interna y externa de un segmento Considérense dos puntos fijos y y un tercer punto alineado con ellos y llamado punto de división. Por ser semejantes los triángulos y , se tiene que: De donde las coordenadas de P, se obtienen así: La razón se llama razón de semejanza o razón de división del segmento PQ.

Por ser semejantes los triángulos y , se tiene que: De donde las coordenadas de P, se obtienen así: Un punto P tal que , se llama punto de división interna del segmento si , y se llama punto de división externa del segmento si .

Ejemplo 6 Determine las coordenadas del punto P de división del segmento que une al punto con el punto en la razón . Ejemplo 7 Determine las coordenadas del punto P de división del segmento que une al punto con el punto en la razón .

Fin