Resolución de recurrencias, por cambio de variable

Resolución de recurrencias mediante el cambio de variable T(n)  término de una recurrencia original Ti  término de un nueva recurrencia obtenida de la original mediante cambio de variable

Resolución de recurrencias mediante el cambio de variable Ejemplo 1: Cambio de variable: n = 2i  i = lg2 n

Resolución de recurrencias mediante el cambio de variable n = 2i  i = lg2 n para transformarla en recurrencias ya conocidas, actuamos de la forma: Llamanos ti = t(2i)  La variable es i. ti = t(2i) = 3t(2i-1) + 2i  ti – 3ti-1 = 2i Rec. no homogénea de e.c. (x-3)(x-2) ti=c1·3i + c22i  como i = lg2 n y clg n=nlg c ti = c1nlg 3 + c2nlg 2  t(n)  O(nlg 3) Para determinar orden exacto, calcular c1, c2.

Resolución de recurrencias mediante el cambio de variable Cálculo de las constantes: Sustituyendo ti = c1nlg 3 + c2nlg 2 en la ec. de rec. Calculamos t(n) en dos puntos, obteniendo dos ec. t(n)=c1·nlog3+c2·n Obteniendo T(n) en dos puntos Para n=1  t(1)=1 condición inicial Para n=2  t(2)=3·t(1)+2=3·1+2=5

Resolución de recurrencias mediante el cambio de variable Sustituyendo en la solución general c1+c2=1  n=1 t(2)=c1·2log3+c2·2=3·c1+2·c2=5  n=2 Resolviendo el sistema de ecuaciones c1=3; c2= -2; t(n) = 3·nlog3 –2·n, con n potencia de 2 t(n) (nlg 3) siendo n potencia de 2

Resolución de recurrencias mediante el cambio de variable   Ejemplo 2: No se puede aplicar el caso general, que veremos más adelante. T(n) = 2·T(n/2)+n·lg n, con n potencia de 2 Cambio de variable n = 2i  i = lg2 n

Resolución de recurrencias mediante el cambio de variable ti = T(2i) = 2·T(2i-1) + 2i ·i = 2·ti-1 + 2i ·i Rec. no homogénea donde b=2, p(i)=i con grd 1 ti – 2ti-1 = 2i·i  (x-2)(x-2)2 = (x-2)3 Solución general ti = c1·2i + c2·i2i + c3·i2·2i Deshaciendo el cambio  [ n = 2i  i = lg n ] T(n) = c1n + c2nlg n + c3nlg2n T(n) O(n·lg2n) siendo n potencia de 2 Para conocer el orden exacto, calcular las constantes

Resolución de recurrencias mediante el cambio de variable Para obtener las constantes sustituimos en la recurrencia original : n·lgn = T(n)-2·T(n/2) n·lgn=(c1·n+c2·lgn·n+c3·n·lg2n)-2(c1·(n/2)+c2·lg(n/2)·(n/2)+c3·(n/2)·lg2(n/2)) n·lgn=c1·n+c2·lgn·n+c3·n·lg2·n- c1·n-c2·n·lg(n/2)-c3·n·lg2(n/2)

Resolución de recurrencias mediante el cambio de variable n·lgn=c2·n·lgn+c3·n·lg2n-c2·n(lgn-lg2)-c3·n(lgn-lg2)2 n·lgn=c2·n·lgn+c3·n·lg2n-c2·n·lgn+c2·n- c3·n(lg2n+lg22-2·lgn·lg2) n·lgn=c2·n-c3·n+2·c3·n·lgn n·lgn=(c2–c3)·n+2·c3·n·lg n Igualando coeficientes : c2 – c3 = 0; 2·c3 = 1 Resolviendo c2=c3= ½ T(n)  (n·lg 2n)

Resolución de recurrencias mediante el cambio de variable Caso General n0  1; l 1; b 2; k 0 enteros; c>0 real. T:NR+ no decreciente T(n) = l· T(n/b) + c·nk n >n0 1 , n/n0 es potencia exacta de b, es decir, n  {bn0, b2n0, b3n0, ...}

Resolución de recurrencias mediante el cambio de variable Caso General Cambio de variable adecuado: n = bi·n0 ti = T(bi·n0) = l· T(bi-1·n0) + c·(bi·n0)k = l·ti-1 + c·n0kbik ti – l·ti-1 = c·n0k·(bk)i (x-l)(x-bk)d+1 [pol. caraterístico] [r1=l , r2=bk] Las soluciones son de la forma: ti = c1li + c2(bk)i Aunque en general es falso porque no se consideran las raíces múltiples

Resolución de recurrencias mediante el cambio de variable Caso General Como n=bin0  i=logb(n/n0) Si deshacemos el cambio de i T(n) = c1·llogb(n/n0) + c2·(bk)logb (n /n0) T(n) = c1·llogbn – logbn0 + c2·( bk)logbn - logbn0 T(n)=c1·(llogbn/llogbn0)+c2·((bk)logbn/(bk)logbn0) Teniendo en cuenta lgbbk=k y llgbn=nlgbl

Resolución de recurrencias mediante el cambio de variable Caso General T(n) = c1·(nlogbl / n0logbl ) + c2·(nlogbbk / n0 logbbk )   T(n) = ( c1 /n0logbl ) · nlogbl + ( c2 /n0k )· nk Llamando: c3= c1 /n0logbl , c4= c2 /n0k   T(n) = c3·nlogbl + c4·nk Para conocer las constantes, sustituimos esta en la recurrencia original.

Resolución de recurrencias mediante el cambio de variable Caso General T(n) = c3·nlogbl + c4·nk  c·nk = T(n) – l·T(n/b) c·nk = c3·nlogbl + c4·nk – l(c3(n/b)logbl + c4(n/b)k) c·nk = c·nk = c3·nlogbl + c4·nk – l·c3 ( nlogbl / blogbl ) – l·c4 (nk / bk ) c·nk = c3·nlogbl + c4·nk – l·c3 ( nlogbl / llogbb) – l·c4 (nk / bk ) c·nk = c3·nlogbl + c4·nk – l·c3 ( nlogbl / l) – l·c4 (nk / bk )

Resolución de recurrencias mediante el cambio de variable Caso General c·nk = c4·nk – l·c4 (nk / bk ) c·nk = c4·nk (1- ( l/bk )) Por tanto:   Para expresar T(n) en notación asintótica, necesitamos saber el cuál es el término dominante en T(n)=c3·nlogbl+c4·nk, tenemos 3 casos:

Resolución de recurrencias mediante el cambio de variable Caso General Si l<bk en c4>0 y k>logbl  c4nk dominante T(n)  (nk | n/n0 potencia exacta de b) Notación asintótica condicional: condicionada a que n/n0 sea potencia exacta de b. Como T(n) es no creciente  T(n)  (nk). Matemáticamente, si tenemos una función condicionada a potencias, logaritmos o polinomios y es creciente, se puede eliminar la condición.

Resolución de recurrencias mediante el cambio de variable Caso General Si l>bk en c4<0 y k< logbl  c3 >0  c3nlogbl dominante T(n)  (nlogbl | n/n0 sea potencia de b) Como T(n) es no decreciente T(n)  (nlogbl )

Resolución de recurrencias mediante el cambio de variable Caso General Si l=bk en Problema en c4de división por 0 El polinomio característico tiene una raíz de grado de multiplicidad 2 La solución general: ti = c5(bk)i + c6i(bk)i Como i=logb(n/n0) T(n) = c7nk + c8nklogb(n/n0) c8=c distinto de cero Término dominante: cnklogbn  T(n) (nklogbn)

Resolución de recurrencias mediante el cambio de variable Caso General Resumiendo T(n) = l·T(n/b) +c·nk, se comporta Observación: En la notación asintótica no es necesario especificar la base del algoritmo por la propiedad: logan = logab · logbn  O(logan) = O(logbn)

Recurrencias Resolución de recurrencias, mediante transformación de intervalo.

Resolución de recurrencias mediante transformación de intervalo. El cambio de variable transforma el dominio de la recurrencia. Podemos transformar el intervalo para obtener una recurrencia que se pueda resolver. Se pueden utilizar ambas transformaciones. Cuando la recurrencia no es lineal o los coeficientes no son constantes, se debe manipular para que lo sea.

Resolución de recurrencias mediante transformación de intervalo. Ejemplo T(n) definida cuando n es potencia de 2 “ nT2 “ , n es coeficiente no constante y T2 es una recurrencia no lineal.

Resolución de recurrencias mediante transformación de intervalo. Cambio de variable: ti=T(2i), n=2i  i=lg n ti = T(2i) = 2iT2(2i-1) = 2iti-12 donde, no lineal y 2i no cte Transformar el intervalo o rango: Creamos otra recurrencia ui=lg ti  ti=2ui ui=lg ti = log (2iti-12 ) = log (2i) + log (ti-12 ) ui= i + 2lg ti-1; ui= i +2ui-1 Por tanto: ui – 2ui-1 = i Cuyo pol. caract. es (x-2)(x-1)2

Resolución de recurrencias mediante transformación de intervalo. ui = c12i + c21i + c3i1i obtengo las ctes (...) sustituyendo la sol. general en la recurrencia para ui i=ui – 2·ui-1 i=c1·2i + c2·1i + c3·i·1i – 2(c1·2i-1+c2·1i-1+c3(i-1)·1i-1) i= c2+ c3·i – 2 c2 –2·c3(i-1) i= - c2+ c3·(i – 2(i-1)) = -c2 + c3( -i +2) i= 2·c3 – c2 – c3·i

Resolución de recurrencias mediante transformación de intervalo. Igualando coeficientes en i= 2·c3 – c2 – c3·i 1= - c3 y 0 = 2c3 – c2 Resolviendo c3 = -1 y c2 = 2c3 = - 2 De c1 no tenemos información Por tanto: ui = c12i –i –2 Deshacemos los dos cambios para determinar la complejidad de la recurrencia

Resolución de recurrencias mediante transformación de intervalo. Deshacer el 2º cambio: Deshacer el 1er cambio: (i=log2n)

Resolución de recurrencias mediante transformación de intervalo. Como tenemos una condición inicial podemos conocer la constante c1 T(1) =1/3; T(1)= 2c1·1 / (4·1) =1/3 Despejando c1=lg2 (4/3); c1 = lg 4 – lg3 = 2 - lg3 Despreciando el 4 (cte)