Trigonometría

Trigonometría La trigonometría es la rama de las matemáticas que estudia las relaciones entre los lados y ángulos de un triángulo.

Un poquito de historia Trigonometría es una palabra de etimología griega. Se compone de: Trigonon.- que significa triángulo y Metria.- que significa medición. Entonces Trigonometría significa etimológicamente, medida de triángulos.

Importancia de la Trigonometría En los trabajos topográficos y de la construcción es necesario conocer cotas, desniveles de terreno, etc., para lo cual se hace imprescindible medir el valor de los ángulos que permiten calcular distancias. El instrumento que se utiliza para medir ángulos en tierra firme es el teodolito. Conociendo algunos elementos de un triángulo: algún lado, algún ángulo, podremos determinar los restantes. Tales de Mileto (640-550 a. J.C.) en uno de sus viajes a Egipto midió la altura de una pirámide aprovechando el momento en que su propia sombra medía tanto como su estatura

SEMIRECTA Dibujamos una recta, y señalamos en ella un punto P. Este punto divide a la recta en dos partes. Cada una de esas partes es una SEMIRRECTA P SEMIRRECTA SEMIRRECTA El punto P es el origen de cada una de las semirrectas. Definimos semirrecta como: La porción de recta limitada por un punto

ÁNGULOS

Ángulo es la porción del plano limitada por dos semirrectas que tienen el mismo origen (vértice) Lado ÁNGULO Lado Vértice

ANGULO: Es la abertura formada por dos semirectas (lados) que parten de un punto común llamado vértice Vértice

Este es el ángulo AOB

Este es el mismo ángulo AOB sin importar si se prolongan más allá las rectas que lo forman.

MEDIDAS DE ÁNGULOS

Medida de ángulos Los ángulos pueden medirse en tres sistemas: Sistema sexagesimal (En la calculadora MODE DEG) Sistema centesimal (En la calculadora MODE GRAD) Radianes (En la calculadora MODE RAD) Ángulo completo Ángulo llano Ángulo recto Un grado Un minuto SEXAGESIMAL 360º 180º 90º 60’ 60” CENTESIMAL 400g 200g 100g 100m 100s RADIANES 2  /2

SISTEMA SEXAGESIMAL (SISTEMA INGLÉS) GRADO : MINUTO : SEGUNDO : EQUIVALENCIAS 1vuelta=

GRADOS SEXAGESIMALES Hay 360 ángulos como este entre dos divisiones consecutivas Dividamos el perímetro de una circunferencia en 360 partes iguales... Este ángulo, en particular, se dice que mide 1º (un grado), y que corresponde a un ángulo entre los 360 que se pueden construir en la circunferencia.

SISTEMA CENTESIMAL (SISTEMA FRANCÉS) GRADO : MINUTO : SEGUNDO : EQUIVALENCIAS 1vuelta=

SISTEMA RADIAL (SISTEMA CIRCULAR) EN ESTE SISTEMA LA UNIDAD DE MEDIDA ES EL RADIÁN. R UN RADIÁN ES LA MEDIDA DEL ÁNGULO CENTRAL QUE SUBTIENDE EN CUALQUIER CIRCUNFERENCIA UN ARCO DE LONGITUD IGUAL AL RADIO. ) R R

A todo esto, ¿qué es el número p? ¿cuánto vale? p = 3.141592653 (aproximadamente, faltan decimales) 1 2 3 4 p

CONVERSIONES DE ÁNGULOS

MULTIPLICAR GRADO 60 MINUTO 60 SEGUNDO DIVIDIR

34º 25’ 48’’ Esta medida está expresada en FORMA COMPLEJA, porque está expresada en distintas unidades. Estas otras medidas también están expresadas en FORMA COMPLEJA. 14º 42’ 27’ 54’’

12.543” Esta medida está expresada en FORMA INCOMPLEJA, porque está expresada en una sola unidad. Estas otras medidas también están expresadas en FORMA INCOMPLEJA. 23º 543’

PASO DE INCOMPLEJO A COMPLEJO Vamos a expresar 425’ en forma compleja 425’ 60 425’ = 7º 5’ 05 7 son grados son minutos Vamos a expresar 64.252” en forma compleja 64252 ” 60 64.252” = 17º 50’ 52” 4 2 5 1 7 60 5 2 4 7 1 7 5 son grados son segundos son minutos

PASO DE COMPLEJO A INCOMPLEJO Vamos a expresar 12º 48’ 54” en incomplejo de segundos 12º a segundos 12º . 60 . 60 = 43.200 “ 48’ a segundos 48’ . 60 = 2.880 “ 54” a segundos 54” = 54 “ 46.134 “ Luego 12º 48’ 54” = 46.134”

Equivalencia de ciertos ángulo

¿Cómo es la conversión de grados a radianes? Sabemos que 360º = 2p radianes 360 x 1º = 2p radianes si esta igualdad la dividimos por 360 nos queda que 360 2p radianes 180 p radianes = 1º = Y por supuesto 180 p grados 1 radián =

1º 180 p radianes = = 0,01745 radianes Por lo tanto si un ángulo mide 37º su conversión a radianes es de: 37º = 37 x 0.001745 radianes = 0,6457 radianes 1 radián = 180 p grados = 57,295 grados Por lo tanto si un ángulo mide 1,5 radianes su conversión a grados es 1,5 radianes = 1,5 x 57,295 = 85.94 grados = 85,94º

Expresa los siguientes ángulos en los tres sistemas de medida S.sexagesimal 60 º 210º S. centesimal 50g 60g 100g Radianes 2π/3 5π/6 140º 240º 350g 90g 25g 7π/8 3

Ángulos en los tres sistemas de medida S.sexagesimal 60 º 45º 120º 54º 210º 90º 150º S. centesimal 66g 66m 66s 50g 133g 33m 33s 60g 233g 33m 33s 100g 166g 66m 66s Radianes 140º 315º 157º 30’ 81º 240º 22º 30’ 171º 53’14” 155g 55m 55s 350g 175g 90g 266g 66m 66s 25g 190g 98m 59s 3

CLASIFICACIÓN DE LOS ÁNGULOS

ÁNGULO TRIGONOMÉTRICO EL ÁNGULO TRIGONOMÉTRICO SE OBTIENE GIRANDO UN RAYO ALREDEDOR DE SU ORIGEN. SENTIDO DE GIRO ANTIHORARIO < ) POSITIVO B SENTIDO DE GIRO HORARIO < ) O ) A NEGATIVO OA : LADO INICIAL < OB : LADO FINAL O: VÉRTICE

ÁNGULO AGUDO Mide más de 0º y menos de 90º

ÁNGULO RECTO Ángulo que mide 90º. Se simboliza, en la figura, con un pequeño cuadrado donde están ubicados los 90º Se dice que las líneas son perpendiculares.

ÁNGULO OBTUSO Mide más de 90º y menos de 180º

El ángulo llano tiene un valor de 180º, es decir dos rectos. Ángulo llano es el formado por dos semirrectas que tienen el mismo origen y sentidos opuestos El ángulo llano tiene un valor de 180º, es decir dos rectos.

ÁNGULO COMPLETO Mide 360º

RELACIONES ENTRE ÁNGULOS

ÁNGULOS COMPLEMENTARIOS Son los que suma 90º a + b = 90º b a

ÁNGULOS SUPLEMENTARIOS Son los que suma 180º a + b = 180º b a

ÁNGULOS CONSECUTIVOS Son los que tienen el vértice y un lado comunes. 1 2 El ángulo 1 y el ángulo 2 son consecutivos

El ángulo 1 y el ángulo 2 son adyacentes. Y Suman 180º ÁNGULOS ADYACENTES Son aquellos que son consecutivos y que el lado no común está en la misma recta. 1 2 El ángulo 1 y el ángulo 2 son adyacentes. Y Suman 180º

ÁNGULOS ADYACENTES Son los que tienen un lado común y el otro lado sobre una misma recta Suman 180º

Los ángulos opuestos por el vértice miden lo mismo a = b a b

ÁNGULOS ENTRE PARALELAS L // M 1 2 3 4 L 5 6 7 8 M

ÁNGULOS ENTRE PARALELAS Ángulos Correspondientes < 1 y < 5 < 2 y < 6 < 3 y < 7 < 4 y < 8 1 2 3 4 L L // M 5 6 7 8 M

ÁNGULOS ENTRE PARALELAS Ángulos Alternos Internos 1 2 < 3 y < 6 < 4 y < 5 3 4 L L // M 5 6 7 8 M

ÁNGULOS ENTRE PARALELAS Ángulos Alternos Externos 1 2 < 1 y < 8 < 2 y < 7 3 4 L L // M 5 6 7 8 M

Suma de ángulos 180º AOB + BOC = 90º COB + BOA =

DOA = BOC DOB = AOC

Resolver 120º ? a b ? Si a = b/2 ¿cuánto valen los otros ángulos?