UNIDAD I La problemática cuando la razón de cambio es constante CÁLCULO I UNIDAD I La problemática cuando la razón de cambio es constante SESIÓN 3 Hacia el contexto formal

Recapitulación . . . . . . Modelo Lineal En la sesión 1 revisamos situaciones en donde la posición cambiaba uniformemente con respecto al tiempo (MRU) En la sesión 2 describimos situaciones más generales, donde existen magnitudes que cambian con respecto al tiempo. En esta sesión abordaremos una situación más general que las anteriores, el caso es que una magnitud depende de otra (no necesariamente el tiempo), pero donde se conserva el hecho de que su razón de cambio sea constante. En esta sesión estará presente el análisis de la situación en donde utilizamos una ecuación lineal en dos variables (representación algebraica), una línea recta como gráfica (representación geométrica) y una tabla de valores (representación numérica), así como en las sesiones anteriores. Modelo Lineal

Situación problema Una varilla que tiene 20 centímetros de longitud tiene una masa de 80 gramos. La masa está uniformemente distribuida en toda la varilla. 20 cm. Análisis 1: Al dividir la masa total de la varilla entre la longitud de ésta, obtenemos la densidad (lineal) de masa. masa longitud 80 gramos 20centímetros razón de cambio = = 4 gramos/centímetro Este número nos indica que la masa varía uniformemente respecto a la longitud, es decir, la razón constante con la cual varía es 4 grm/cm.

Representación numérica: Análisis 2: Consideremos un tramo de varilla de longitud l, medido desde un extremo de la varilla y sea M la masa correspondiente a esa longitud. 20 l M Representación numérica: l (cm) M (grm) 1 4 2 8 3 12 16 5 20

Análisis 3: La masa M se relaciona algebraicamente con la longitud correspondiente l por la ecuación lineal. Recordemos que la masa inicial es cero Representación matemática: M = M (l) = 4 l Representación geométrica: l M 80 20 ∆l ∆m

Hacia la generalización En las tres situaciones problemáticas abordadas hasta el momento se reconoce la presencia de: Una magnitud de interés que cambia con respecto a otra magnitud de referencia. La razón con la que cambia la primera magnitud (la de interés) con respecto a la segunda (la de referencia), la cual es una razón de cambio constante. Situación problema Magnitud de interés Magnitud de referencia Razón de cambio de la magnitud de interés con respecto a la de referencia Sesión 1 la posición el tiempo Se conoce como: velocidad Sesión 2 la temperatura No tiene nombre en particular Sesión 3 la masa la longitud Se conoce como: densidad

Lo común a todas las situaciones es el modelo matemático que las caracteriza, es cuando se tiene la razón de cambio constante, el modelo es conocido como: Modelo lineal y = yo + m x y y x representan las magnitudes de interés y de referencia, respectivamente. m es la razón de cambio constante de y con respecto a x yo es el valor de y cuando x = 0 La gráfica del modelo lineal en mención es una recta que cruza al eje y en el punto (0 , y) y pendiente m.