Aplicaciones de las Ecuaciones Cuadráticas

Ejemplo 1 (Jardinería): Un jardín rectangular es 60 por 80 pies Ejemplo 1 (Jardinería): Un jardín rectangular es 60 por 80 pies. Parte del jardín ha sido removido para instalar una acera de ancho uniforme alrededor de el. El área del nuevo jardín es ½ del viejo jardín. Indique el ancho de la acera.

Ejemplo 1 (Jardinería) … Planteamiento del problema. Como no sabemos el ancho de la acera, llamamos a su ancho x. x x x x Jardín viejo Acera 60 pies 60 – 2x Jardín nuevo 80 – 2x x x x x 80 pies

Ejemplo 1 (Jardinería) … Traduzca en una ecuación. El área de un rectángulo es largo por ancho. Área del jardín viejo = 60 ∙ 80; Área del nuevo jardín = (60 - 2x)(80 – 2x) Debido a que el área del nuevo jardín es ½ del viejo jardín, tenemos: (60 – 2x)(80 – 2x) = ½ ∙ 60 ∙ 80

Solucionar la ecuación: Multiplicando en ambos miembros. Agrupando y transponiendo términos. Dividiendo entre 4 Factorizando Usando el principio de cero como producto

El ancho de la acera es de 10 pies. Comprobación: Sustituimos en la ecuación original. x = 60 no puede ser porque el ancho y largo dan negativo y no puede ser negativo. Solución verdadera porque el ancho y largo dan números positivos 5. Respuesta: El ancho de la acera es de 10 pies.

Ejemplo 2 (Localización de la Escalera) : Una escalera se reclina contra un edificio, como se indica en el dibujo. La escalera mide 20 pies de largo. La altura donde se apoya la escalera es 4 pies mayor que la distancia (d) de la escalera al edificio. Encuentre la distancia d y la altura donde se apoya la escalera.

Ejemplo 2 (Localización de la Escalera) … Planteamiento del problema. Primero hacemos un dibujo y lo identificamos. Queremos encontrar d y d + 4. 20 ft 20 ft d + 4 d

Ejemplo 2 (Localización de la Escalera) … Traduzca en una ecuación. Usando el Teorema de Pitágoras, dado que se forma un triángulo rectángulo en la figura, tenemos:

Ejemplo 2 (Localización de la Escalera) … Resolver la ecuación. Elevando al cuadrando. Agrupando y transponiendo términos. Dividiendo por 2. Factorizando. Usando los productos nulos.

Ejemplo 2 (Localización de la Escalera) … Resultado final. La distancia d es 12 pies y la altura a la que se apoya la escalera es 12 + 4 (d + 4), o 16 pies.

Ejemplo 3 (localización de la Escalera) . Suponga que la escalera en el Ejemplo 2 tiene una longitud de 10 ft. Encuentre la distancia d y la distancia d + 4. Usando el mismo razonamiento del problema anterior (Ejemplo 2), traducimos el problema a la ecuación 102 = d2 + (d + 4)2.

Ejemplo 3 (localización de la Escalera) … Usando la fórmula cuadrática: Elevando al cuadrando Agrupando términos. Multiplicando por ½, o dividiendo entre 2

Ejemplo 3 (localización de la Escalera) … Respuesta: d = 4.782 pies. d + 4 = 8.782 pies.

Ejemplo 4 (Temperatura del agua hirviente) : La temperatura T, a la cual hierve el agua, se relaciona con la altitud h, en metros sobre el nivel del mar, mediante la fórmula: Válida entre . La elevación aproximada del Monte Everest es de 8840, ¿cuál será la temperatura a la cual hierve el agua en la cima de esa montaña ?

Ejemplo 4 (Temperatura del agua hirviente) 1.- Obtención de la ecuación: Se sustituye h = 8840 en la fórmula, esto es: Ahora se sustituye temporalmente , resultando: Que también se puede representar como: Dividiendo entre 10, tenemos:

Ejemplo 4 (Temperatura del agua hirviente) 2.- Solución de la ecuación: Se aplica la ecuación cuadrática con: a = 58, b = 100, c = -884.

Ejemplo 4 (Temperatura del agua hirviente) 3.- Solución del problema: Se sustituyen los resultados en la expresión x = 100 – T, y obtenemos: 100 – T = 3.135 y 100 – T = -4.86 Por lo que T toma los Valores: T = 96.86, y T = -104.86 Examinando con detenimiento el problema, en el enunciado se señala que la fórmula es válida para 95  T  100, por lo que la solución T = -104.86 no es válida y se debe desechar. En conclusión, la temperatura a la que hierve el agua en la cima de monte Everest es: T = 96.86 °C.