MATRICES CONTENIDO DEL TEMA: Concepto de matriz de orden n x m Clases de matrices según su forma Tipos de matrices cuadradas Suma de matrices Producto de un escalar por una matriz Producto de matrices Transposición de matrices. Matriz simétrica y hemisimétrica 

Definición La matriz se usa en la vida cotidiana, en juegos, como el de “barquitos”, en una clasificación de una competición deportiva o en la cotizaciones de la bolsa. En estas tablas numéricas, cada valor tiene un significado preciso, y para mayor facilidad de consulta, los números están repartidos en filas y columnas. Por conclusíón: una matriz es la ordenación de m x n, de elementos ordenados en filas y columnas.

1. Concepto de matriz m x n. Diapositiva siguiente Se llama matriz de orden m x n a la aplicación que a cada elemento del producto cartesiano M x N le asigna un número real En otras palabras, a cada par ordenado de números naturales se le asigna un número real. Así tenemos un conjunto de m x n números reales que se acostumbra a escribir distribuidos en m filas (horizontales) y n columnas (verticales e introducidos entre paréntesis. Diapositiva siguiente

Representación de una matriz m x n   cada número real ocupa una posición determinada por los dos subíndices. El primer subíndice indica el número de la fila y el segundo el número de la columna.

Suma de matrices Solo se pueden sumar dos matrices si tienen las mismas dimensiones.  Dadas dos matrices de orden n x m:      Su suma es de dimensión: Cada elemento se obtiene sumando los elementos de las matrices sumandos que están en la misma posición. Ejemplo

Calcular A + B y A – B:  

la suma de matrices presenta una estructura de grupo abeliano, cumple las cuatro propiedades siguientes: Asociativa: (A+B)+C=A+(B+C) Conmutativa: A+B=B+A Elemento neutro: es la matriz nula Elemento opuesto: Para cada matriz A existe su opuesta (-A), que se obtiene cambiando en A los signos de todos sus elementos, tal que A+(-A)=N.

2. Clases de matrices según su forma. matriz fila( 1x n) :   matriz columna (m x 1): matriz cuadrada, n=m: Matriz diagonal,escalar, unidad, nula y triangular

Matriz diagonal Matriz escalar   M. unidad M. triangular M. nula

1. Producto de un escalar por una matriz. Dada una matriz A=(aij) de orden n x m y un número real k (escalar), se llama matriz producto de A por k a la matriz de orden n x m cuyo elemento genérico es de la forma: Ejemplo

Producto de un escalar por una matriz:  

Propiedades del producto de un escalar: Distributiva respecto a la suma de escalares: (k+k')A=kA+k'A Distributiva respecto a la suma de matrices: k(A+B)=kA+kB Asociativa mixta: (kk')A=k(k'A) Producto por el elemento unidad de R: 1.A=A

1. Producto de matrices. Dos matrices sólo son multiplicables si el número de columnas de la primera es igual al número de filas de la segunda, si son de órdenes n x m (la primera) y m x p (la segunda, se obtiene una matriz de orden n x p.

Propiedades del producto de matrices: Asociativa: (AB)C=A(BC) No es conmutativa ya que, en general, Matriz unidad: Toda matriz cuadrada A de orden n multiplicada por la matriz identidad del mismo orden queda inalterada, o sea AI=A: El producto de matrices no es simplificable, AB=AC no implica que B=C. El producto de matrices es distributivo respecto de la suma, o sea A(B+C)=AB+AC.  

1. Trasposición de matrices. Matriz simétrica y hemisimétrica. Se llama matriz traspuesta de la matriz A de orden n x m y la representamos por A’ a la matriz de orden m x n que se obtiene cambiando las filas por las columnas.

Propiedades: La traspuesta de la traspuesta es la matriz inicial, (A’)’=A La traspuesta de una suma de matrices es la suma de las traspuestas, (A+B)t=At+Bt. La traspuesta de un producto de matrices es el producto de las traspuestas en orden inverso, o sea: (AB)t=BtAt Se llama matriz simétrica a una matriz cuadrada en la que los elementos simétricos respecto de la diagonal principal son iguales, esto es cuando aij=aji.

En una matriz simétrica, la traspuesta coincide con la propia matriz. Se llama matriz hemisimétrica a una matriz cuadrada en la que los elementos simétricos respecto a la diagonal principal son números opuestos, esto es cuando aij=-aji En una matriz hemisimétrica los elementos de la diagonal principal han de ser nulos.

1. Potencia de una matriz cuadrada. Es el producto matricial de n matrices iguales a A, esto es: