Matemáticas 2º Bachillerato CS MATEMÁTICAS A. CS II Tema 11 * PROBABILIDADES @ Angel Prieto Benito Matemáticas 2º Bachillerato CS

Matemáticas 2º Bachillerato CS AZAR Y PROBABILIDAD Tema 11.1 * 2º B CS @ Angel Prieto Benito Matemáticas 2º Bachillerato CS

Matemáticas 2º Bachillerato CS Axiomas Llamamos PROBABILIDAD a toda aplicación P definida entre el espacio de sucesos S y el conjunto de los números reales R, de modo que todo suceso A le asocia un número real P(A), al que llamamos probabilidad del suceso A AXIOMA 1 Cuando un suceso se da siempre, se llama suceso seguro. P(E) = 1. AXIOMA 2 La probabilidad de un suceso A es un número no negativo. P(A)≥0 AXIOMA 3 Si A y B son sucesos incompatibles (no se pueden dar a la vez) la probabilidad de A U B es la suma de probabilidades. Si A∩B = Ø  P(AUB)=P(A)+P(B) @ Angel Prieto Benito Matemáticas 2º Bachillerato CS

Matemáticas 2º Bachillerato CS Consecuencias Consecuencia 1 Cuando un suceso no se pueda dar nunca, se llama suceso imposible . P(A) = 0 Consecuencia 2 El valor de la Probabilidad de un suceso A será siempre: 0 ≤ P(A) ≤ 1 Ejemplos en el experimento aleatorio de lanzar un dado: P(7) = 0 , pues el 7 es un suceso imposible. P(“Número entero”) = 1 , pues es un suceso seguro. P(5) = 1/6 = 0,1667 , vemos que 0 ≤ P(5) ≤ 1 P(5∩6)=P(5)+P(6) = 0,1667 + 0,1667 = 0,3334 , pues el suceso A=“Obtener un 5” es incompatible con el suceso B=“Obtener un 6) @ Angel Prieto Benito Matemáticas 2º Bachillerato CS

EXPERIMENTOS COMPUESTOS Son el resultado de combinar dos o más experiencias aleatorias simples: Lanzar dos monedas al aire, lanzar tres dados al aire, extraer una bola de una urna y luego otra bola de otra urna. Pueden darse dos casos muy importantes: Extracciones CON REEMPLAZAMIENTO. Será cuando lo extraído se devuelva donde estaba de inmediato tras mirar el resultado. Un caso particular, pero muy importante, es reemplazar el objeto extraído por otro de distinta modalidad (color, número, etc). Extracciones SIN REEMPLAZAMIENTO. Será cuando lo extraído NO se devuelva donde estaba tras mirar el resultado. Un caso particular, pero muy importante, es cuando se realizan todas las extracciones a la vez, en cuyo caso no podemos hablar de orden en los resultados. @ Angel Prieto Benito Matemáticas 2º Bachillerato CS

Matemáticas 2º Bachillerato CS SUCESOS COMPATIBLES SUCESOS COMPATIBLES Dos sucesos, A y B, se los llama sucesos compatibles cuando se pueden dar a la vez. Si A∩B <> Ø  P(AUB) = P(A) + P(B) – P(A).P(B) Ejemplo: Sea A el suceso “Que al lanzar un dado el resultado sea un 6” Sea B el suceso “Que al lanzar un dado el resultado sea un número par” Ambos sucesos se pueden dar a la vez, luego son compatibles. Sea A el suceso “Al extraer una carta ésta sea un rey” Sea B el suceso “Al extraer una carta ésta sea de copas“ Ambos sucesos se pueden dar a la vez, pues hay un rey de copas, luego son compatibles. @ Angel Prieto Benito Matemáticas 2º Bachillerato CS

SUCESOS INCOMPATIBLES Dos sucesos, A y B, se los llama sucesos incompatibles cuando no se pueden dar a la vez. Ejemplo: Sea A el suceso “Que al lanzar un dado el resultado sea un 5” Sea B el suceso “Que al lanzar un dado el resultado sea un número par” Ambos sucesos no se pueden dar a la vez, luego son incompatibles. Sea A el suceso “Al extraer una carta ésta sea un rey o un tres” Sea B el suceso “Al extraer una carta ésta sea un as o un dos“ @ Angel Prieto Benito Matemáticas 2º Bachillerato CS

Matemáticas 2º Bachillerato CS SUCESOS CONTRARIOS Cuando en un experimento aleatorio sólo hay dos posibilidades o dos sucesos posibles, que se excluyen mutuamente, se los llama sucesos contrarios. En una moneda, lo contrario de resultar Cara es resultar Cruz. En un dado, lo contrario de resultar Par es resultar Impar. En un dado lo contrario de resultar un 5 es no resultar un 5. Todos los experimentos aleatorios los podemos expresar como espacio muestral de dos únicos sucesos: El que interesa y el contrario. _ _ Como P(A) + P( A ) = 1 ; P( A ) = 1 - P(A) Ejemplo: Al lanzar un dado al aire, que el resultado sea un 5 o que no sea un 5. P(5) = 1 / 6 = 0,1667 _ P(5) = 1 – 1/6 = 5 / 6 = 0,8333 @ Angel Prieto Benito Matemáticas 2º Bachillerato CS

Matemáticas 2º Bachillerato CS Ejercicios EJERCICIO_1 Lanzamos un dado al aire cuatro veces. ¿Cuál es la probabilidad de obtener las cuatro veces el mismo resultado numérico?. RESOLUCIÓN: a) El mismo resultado numérico concreto (un cinco por ejemplo). P(5∩5∩5∩5)= P(5).P(5).P(5).P(5) = (1/6)4 = 0,000771 b) El mismo resultado numérico cualquiera. P(V∩A∩A∩A)= P(V).P(A).P(A).P(A) = 1. (1/6)3 = 0,00452 @ Angel Prieto Benito Matemáticas 2º Bachillerato CS

Matemáticas 2º Bachillerato CS EJERCICIO_2 En un examen de 20 temas, un alumno sabe 13 de ellos. El profesor pone 3 temas al azar. Para aprobar, el alumno debe saber al menos dos de los tres temas propuestos. ¿Cuál es la probabilidad de que apruebe el examen? C13,2 . C7,1 C13,3 P(A)=P(2)+P(3) = -------------------- + --------------------- = C20,3 C20,3 13!/2!.11! . 7!/1!.6! 13!/3!.10! = -------------------------------- + --------------------- = 20!/3!.17! 20!/3!.17! 13.6. 7 13.2.11 = --------------- + -------------- = (546+ 286)/ 1140 = 832/1140 = 0,7298 20.19.3 20.19.3 @ Angel Prieto Benito Matemáticas 2º Bachillerato CS

Matemáticas 2º Bachillerato CS EJERCICIO_3 Dos futbolistas se juegan el campeonato en un penalti. La probabilidad de que lo meta el primero es ½, y de que lo meta el segundo, si el primero lo hace antes, es ¼. ¿Cuál es la probabilidad de que los dos metan el penalti?. P(A∩B) = P(A). P(B/A) = 0,5 . 0,25 = 0,125 P(A∩NB) = P(A). P(NB/A) = 0,5 . 0,75 = 0,375 P(A∩B) = 0,125 EJERCICIO_4 La probabilidad de que un alumno apruebe Matemáticas es de 0,6 y la de aprobar Física, habiendo superado Matemáticas, es de 0,7.¿Cuál es la probabilidad de aprobar ambas asignaturas? P(M∩F) = P(M). P(F/M) = 0,6 . 0,7 = 0,42 @ Angel Prieto Benito Matemáticas 2º Bachillerato CS

Matemáticas 2º Bachillerato CS EJERCICIO_4 La probabilidad de que Andrés haga la comida es de 2 / 9. La probabilidad de que la haga su mujer es de 3 / 5. ¿Cuál es la probabilidad de que la comida esté hecha?. Como puede haber intersección se sucesos, la unión será: P(AUM) = P(A) + P(M) – P(A).P(M) P(AUM) = 2/9 + 3/5 – 2/9.3/5 = 0,2222 + 0,6000 – 0,1333 = 0,6889 EJERCICIO_5 En un cruce nos encontramos dos semáforos. La probabilidad de que el primero esté en rojo es 1 / 3 y la probabilidad de que, si el primero está en rojo, el segundo esté en ámbar, es de 1 / 5. ¿Cuál es la probabilidad de que el primero esté en rojo y el segundo en ámbar?. P(R∩A) = P(R). P(A/R) = 0,3333 . 0,2 = 0,0666 @ Angel Prieto Benito Matemáticas 2º Bachillerato CS

Matemáticas 2º Bachillerato CS EJERCICIO_6 Miriam espera la llamada de Carlos y de Guillermo. La probabilidad de que la llame Carlos es de 0,7 y de que la llame Guillermo es de 0,5. Calcula: a) La probabilidad de que llamen los dos. b) La probabilidad de que llame alguno de ellos. c) La probabilidad de que no llame ninguno. a) P(C∩G)=P(C).P(G) = 0,7 . 0,5 = 0,35 b) P(CUG)=P(C) + P(G) - P(C).P(G) = 0,7+ 0,5 – 0,35 = 0,85 _ _ _ _ c) P(C∩G)=P(C).P(G) = (1 – 0,7). (1 – 0,5) = 0,3 . 0,5 = 0,15 De otra forma: P(Ninguno) = 1 – [P(CUG)] = 1 – 0,85 = 0,15 Observesé que P(C) + P(G) = 0,7 + 0,5 = 1,2 , lo que es imposible. @ Angel Prieto Benito Matemáticas 2º Bachillerato CS