@ Angel Prieto BenitoMatemáticas 1º Bachillerato CT1 Tema 1 NÚMEROS REALES

@ Angel Prieto BenitoMatemáticas 1º Bachillerato CT2 Tema 1.10 * 1º BCT BINOMIO DE NEWTON

@ Angel Prieto BenitoMatemáticas 1º Bachillerato CT3 NÚMEROS COMBINATORIOS Dados dos números naturales, m y n, donde m ≥ n, se denomina número combinatorio y se lee “m sobre n” a Se determina que: 1! = 1 y que 0! = 1 PROPIEDADES

@ Angel Prieto BenitoMatemáticas 1º Bachillerato CT4 NÚMEROS COMBINATORIOS

@ Angel Prieto BenitoMatemáticas 1º Bachillerato CT5 NÚMEROS COMBINATORIOS

@ Angel Prieto BenitoMatemáticas 1º Bachillerato CT6 Observar las potencias: Fijarse en los coeficientes: 0 (a+b) = (a+b) = a + b (a+b) = a + 2.a.b + b (a+b) = a + 3.a.b + 3.a.b + b (a+b) = a + 4.a. b + 6.a. b + 4.a. b + b = Ya vistos por ser todos productos notables. Forman un triángulo llamado Triángulo de Tartaglia BINOMIO DE NEWTON

@ Angel Prieto BenitoMatemáticas 1º Bachillerato CT7 Sea el siguiente desarrollo: (x – 3) 4 = C 4,0.x 4 – C 4,1.x C 4,2.x 2.9 – C 4,3.x C 4,4. 81 PROPIEDADES 1.-El número de sumandos o términos del desarrollo siempre es igual al número del exponente más uno. 2.-Los coeficientes numéricos forman siempre un triángulo, donde un coeficiente cualquiera es siempre igual a la suma de los dos coeficientes que están por encima de él. 3.-El grado de todos y cada uno de los términos del desarrollo es siempre el mismo, e igual al exponente del binomio. 4.-El grado del primer término del binomio, de ‘a’, va disminuyendo desde el valor del exponente hasta cero. PROPIEDADES

@ Angel Prieto BenitoMatemáticas 1º Bachillerato CT8 Sea el siguiente desarrollo: (x – 3) 4 = C 4,0.x 4 – C 4,1.x C 4,2.x 2.9 – C 4,3.x C 4,4. 81 PROPIEDADES 5.-El grado del segundo término del binomio, de ‘b’, va aumentando desde cero hasta el valor del exponente. 6.-La suma de los grados de ‘a’ y de ‘b’, en todos y cada uno de los términos del desarrollo es siempre el mismo, e igual al exponente del binomio. 7.-Si el binomio es una resta en lugar de una suma, los términos de lugar par del desarrollo serán de signo negativo. 8.-Los coeficientes numéricos presentan siempre simetría. Son todos ellos Combinaciones sin repetición: C m,n donde ‘m’ es el exponente del binomio y ‘n’ varía de 0 a ‘m’

@ Angel Prieto BenitoMatemáticas 1º Bachillerato CT9 EJEMPLOS (x + 2) 5 = C 5,0.x 5 + C 5,1.x C 5,2.x C 5,3.x C 5,4.x.16 + C 5,5. 32 (x – 3) 4 = C 4,0.x 4 – C 4,1.x C 4,2.x 2.9 – C 4,3.x C 4,4. 81 (4 – x) 5 = C 5,0.4 5 – C 5,1.4 4.x + C 5, x 2 – C 5, x 3 + C 5,4. 4. x 4 – C 5,5. x 5 (x + 1) 17 = C 17,0.x 17 + C 17,1.x 16 + C 17,2.x 15 + …. + C 17,16.x + C 17,17 (x + 3) 5000 = C 5000,0.x C 5000,1.x C 5000,2.x … + C 5000, (– 2.x – 3) 9 = C 9,0.(- 2x) 9 + C 9,1.(- 2x) 8.(- 3) + C 9,2.(- 2x) 3.(- 3) 2 +…. + C 9,9.(- 3) 9

@ Angel Prieto BenitoMatemáticas 1º Bachillerato CT10 EXPRESIÓN FORMAL DEL BINOMIO DE NEWTON m 0 m 1 m-1 2 m-2 2 k k m-k m m (a+b) = C.a + C.a. b + C. a. b C. a. b C. b m m m m m Ejemplo 1 Hallar el término que ocupa el 6ª lugar en el desarrollo de : 8 (3 - x) Tendrá 9 términos su desarrollo ( ), pero sólo nos piden el 6º término. Seguimos desarrollando el T. de Tartaglia hasta la 9ª fila, obteniendo: , tomamos el 56 Igualmente podíamos haber hecho C8,6-1 = C8,5 = 56 Como ocupa lugar par, y el binomio es una resta, pondremos -56 al coeficiente. Ahora, en nuestro ejemplo: a=3 y b= x Finalmente aplicando restantes propiedades : (3-x) = x +...

@ Angel Prieto BenitoMatemáticas 1º Bachillerato CT11 Ejemplo 2 Hallar el término que ocupa el 8ª lugar en el desarrollo de : 11 (x + 2) Tendrá 12 términos su desarrollo ( ), pero sólo nos piden el 8º término. C11,8-1 = C10,7 = 10! / 7!.3! = /6 = 15.8= Finalmente queda: (x+2) = x = x Ejemplo 3 Hallar el término que ocupa el 3ª lugar en el desarrollo de : 27 (x - 5) Tendrá 28 términos su desarrollo ( ), pero sólo nos piden el 3º término. C27,3-1 = C27,2 = 27! / 2!.25! = 27.26/2 = Finalmente: (x – 5) =... – 351. x = … – 8775.x + …