3. Cálculo de la tasa de interés De la ecuación (13) despejamos i : i = (S / P)1 / n - 1 (19 ) En (19) i corresponde al período de capitalización en el que se haya expresado n. Ejemplo 15. ¿A qué tasa efectiva mensual un capital de S/.10 000 se habrá convertido en un monto de S/.13 000 si dicho capital original fue colocado a 6 meses? Solución Datos: Fórmula i = ? mensual i = (S / P)1 / n - 1 P = 10 000 i = (13 000 / 10 000) 1 / 6 - 1 S = 13 000 i = 0,0446975 n = 6 meses i = 4,46975 % efectivo mensual .

4. Cálculo del número de períodos de capitalización De la ecuación (13 ) despejamos n: Log. S / P n = (20 ) Log. ( 1 + i ) En la fórmula (20 ) n es el número de unidades de tiempo a la que hace referencia i. Por ejemplo, si i es mensual n es el número de meses, si i es anual n es el número de años, etc.   Ejemplo 16. ¿En qué tiempo se duplicará un capital a una tasa efectiva del 3% mensual? Solución Datos Fórmula n = ? Log. S / P Log. ( 2 / 1 S = 2 n = n = P = 1 Log. ( 1 + i ) Log. ( 1 + 0,03) i = 0,03 n .= 23,44977772 / 12 = 1,954 años, n .= 23,44977772 meses n = 23,44977772 x 30‑ = 703 días

5. Cálculo del interés Por definición el interés es la diferencia entre el monto y su capital inicial: I = S ‑ P Reemplazando S en la ecuación anterior por su equivalente P (1 + i) n tenemos: I = P(1 + i) n - P I = P [ (1 + i) n - 1] ( 21 ) De la ecuación (22) despejamos P, i y n   I I 1/n Log. ( I / P + 1) P = (22); i = + 1 - 1 (23 ); n = (24) (1 + i )n -1 P Log. ( 1 + i )

Ejemplo 17. Calcule el interés compuesto generado en un trimestre por una inversión de S/.45 000, colocado a una tasa nominal del 24% anual con capitalización bimestral. Solución   Datos: Fórmula I = ? trimestral P = 45 000 I = P [ (1 + i )H / f - 1] i = 24% / 6 = 0,04 I = 45 000 [(1 + 0,04)3/ 2 - 1] n = 3 / 2 bimestres I = 45 000 [ (1,04)3/2 - 1] I = 2 726,82

Ejemplo 18. ‑ Para ganar un interés compuesto de S/ Ejemplo 18.‑ Para ganar un interés compuesto de S/. 15 000 en un plazo de 27 días, ¿cuánto debe colocarse en una institución de crédito que paga una tasa efectiva anual del 18%? Solución   Datos: Fórmula P = ? P = I / [ (1 + i)n - 1] I = 15 000 P = 15 000/ [ (1,18)27 / 360 - 1] n = 27 / 360; P = 1 200 869,333 i = 0,18

Datos Fórmula 275 1/ (75 / 30) i = ? I 1/n P = 1 375 i = + 1 - 1 Ejemplo 19.‑ Calcule la tasa efectiva mensual que se cobra por la compra de una computadora cuyo precio de contado es de S/. 1 375, pero financiado sin cuota inicial y con una letra a 75 días su importe es de S/. 1 650. Solución  Datos Fórmula i = ? I 1/n P = 1 375 i = + 1 - 1 I = 275 P n = 75 / 30 275 1/ (75 / 30) i = + 1 - 1 1375 i = 0,075653756 x 100 = 7,565375693%

Ejemplo 20. El cargo por intereses de un sobregiro bancario de S/ Ejemplo 20. El cargo por intereses de un sobregiro bancario de S/. 225 000 ha sido de S/. 9 500. Si el banco cobra una tasa efectiva mensual del 2.5%, ¿cuánto tiempo estuvo sobregirada la cuenta? Solución Datos: Fórmula n = ? Log. (I/P + 1) P = 225 000 n = I = 9 500 Log. (1 + i) i = 0,025 Log. (9 500 / 225 000 + 1) n = Log. ( 1,025 ) n = 1,674799976 meses; n = 50,24399929 días

5.1 Interés devengado en cualquier período capitalizable El interés compuesto tiene un crecimiento geométrico en el cual el interés de cualquier período después del segundo es mayor que el generado en el período anterior. Si el período k comienza en el momento n‑1 y acaba en el momento n, para obtener el interés k generado en ese período, calculamos la diferencia de los intereses acumulados hasta el momento n y los intereses generados hasta el período anterior n‑1. Fórmula IK = P i ( 1 + i ) n -1 (25)

Ejemplo: 21 Alicia ahorra en una entidad financiera S/ Ejemplo: 21 Alicia ahorra en una entidad financiera S/. 1 000 percibiendo una tasa nominal anual del 36% con capitalización mensual, calcule el interés que devengará ese capital en cada uno de los doce primeros meses. Compare los intereses acumulados en cada mes a interés simple y compuesto. Solución

n Pi ( 1 + i )n – 1 Interés compuesto Interés simple IK Acumulado I I. Acum. 1 1000 x 0,03 x 1,03 1-1 30,00 30 2 1000 x 0,03 x 1,032 -1 30,90 60,90 60 3 1000 x 0,03 x 1,033 -1 31,83 92,73 90 4 1000 x 0,03 x 1 034 -1 32,72 125,51 120 5 1000 x 0,03 x 1,035 -1 33,77 159,27 150 6 1000 x 0,03 x 1.036 -1 34,78 194,05 180 7 1000 x 0,03 x 1,037 -1 35,82 229,87 210 8 1000 x 0,03 x 1,038 -1 36,90 266,77 240 9 1000 x 0,03 x 1,039 -1 38,00 304,77 270 10 1000 x 0,03 x 1,0310-1 39,14 343,92 300 11 1000 x 0,03 x 1,0311-1 40,32 384,23 330 12 1000 x 0,03 x 1,0312-1 41,53 425,76 360

6.2 Consolidación de pasivos Ejemplo 23. Actualmente, la empresa Comercial FERCOM. S.A , la cual mantiene varias líneas de financiamiento con diversos bancos del Sistema Financiero; tiene los créditos vencidos y por vencer resumidos en el cuadro siguiente: Plazo Banco S/. TEM Linea Vencido hace 92 días A 9 000 5.0% Importaciones Vencido hace 82 días B 8 000 4.0% Pagaré Vencido hace 14 días C 4 000 4.5% Sobregiro Por vencer dentro de 45 días D 6 000 3.0% Por vencer dentro de 60 días 7 000 Letras Por vencer dentro de 78 días 3 000 3.5%

Debido a que las tasas de interés, en mora son más elevadas que para los créditos por vencer. La empresa comercial ha tramitado y obtenido del Banco E un financiamiento para consolidar y amortizar sus pasivos vencidos y por vencer a una tasa efectiva mensual del 2,8%, el cual será desembolsado dentro de 30 días. ¿Qué importe deberá solicitar la empresa al Banco E? Solución Designando el día de hoy como el momento 0, el tiempo transcurrido de los créditos vencidos tendrán signo negativo, mientras los créditos por vencer tendrán signo positivo. X = 9 000 (1,05 122 / 30 ) + 8 000 (1.04 112 / 30 ) + 4 000 (1.045 44 / 30 ) + 6 000 (1.03-15 / 30 ) + 7 000 (1.03- 30 / 30 ) + 3 000 (1.035- 48 / 30) X = 40,050,87

6.3 Cuotas de amortización de préstamos Ejemplo 24. Calcule el importe de cada cuota creciente a pagar por un préstamo bancario de S/. 20 000 amortizable en 4 cuotas mensuales vencidas las cuales se incrementarán 5% cada mes en relación a la cuota anterior. El banco cobra una tasa efectiva mensual del 3%. Solución 20 000 = X(1,03- 1) + X(1,03- 2) X(1,03-3) + X(1,03- 4) 20 000 = 3,717098403 X X = 5 380,547233 Cuota Importe 1. X 5380,55 2. X (1,05) 5649,58 3. X (1,05 2) 5932,06 4. X ( 1,05 3 ) 6228,66

6.4 Amortizaciones parciales de préstamos Ejemplo 25. La empresa industrial RECICLACOM. S.A realizó un préstamo S/. 5 000 para devolverlos dentro de 180 días pagando una tasa nominal mensual del 2,5%con capitalización diaria. Si durante dicho período amortiza S/. 2 000 el día 35 y S/.1 000 el día 98, ¿cuánto deberá pagar el día 180 para cancelar su deuda: Si los abonos efectuados se procesan el mismo día Si se toma como fecha focal el día 180? a) Procesando los abonos el mismo día del pago Día Cálculo del valor futuro Abonos Saldos 35 S35 = 5 000.00 [1 + 0,025/ 30 ] 35 = 5 147,92 2 000,00 3 147,82 98 S98 = 3 147,92 [1 + 0,025/ 30] 63 = 3 317,53 1 000,00 2 317,53 180 S180 = 2 310,99 [1 + 0,025 / 30] 82 = 2 481,36 2 481,36 0,00 5 481,36

b) Procesando la deuda y abonos tomando como fecha focal el día 180 5 000 ( 1 + 0,025 / 30 )180 = 5 808, 81 2 000 ( 1 + 0,025 / 30 )145 = (2 256,76) 1 000 ( 1 + 0,025 / 30 )82 = (1 070,69) Saldo a pagar 2 481,36 Total de pagos efectuados: 2 000 + 1 000 + 2 481,36 = 5 481,36 A diferencia del interés simple, la ecuación de valor en el interés compuesto, en cualquier fecha focal, produce el mismo resultado.

6.4 Amortizaciones parciales de préstamos Ejemplo 25. b) Procesando la deuda y abonos tomando como fecha focal el día 180 Día Cálculo del valor futuro Abonos Saldos 35 S35 = 5 000.00 [1 + 0,025/ 30 ] 35 = 5 147,92 2 000,00 3 147,82 98 S98 = 3 147,92 [1 + 0,025/ 30] 63 = 3 317,53 1 000,00 2 317,53 180 S180 = 2 310,99 [1 + 0,025 / 30] 82 = 2 481,36 2 481,36 0,00

6.3 Cuotas de amortización de préstamos Ejemplo 24. Calcule el importe de cada cuota creciente a pagar por un préstamo bancario de S/. 20 000 amortizable en 4 cuotas mensuales vencidas las cuales se incrementarán 5% cada mes en relación a la cuota anterior. El banco cobra una tasa efectiva mensual del 3%. Solución 20 000 = X(1,03- 1) + X(1,03- 2) X(1,03-3) + X(1,03- 4) 20 000 = 3,717098403 X X = 5 380,547233 Cuota Importe 1 X 5380,55 2 X (1,05) 5649,58 3 X (1,05 2) 5932,06 4 X ( 1,05 3 ) 6228,66