Unidad 2: La derivada Aplicaciones de Máximos y Mínimos. Criterio de la segunda derivada

Leamos el siguiente problema El departamento de vías planea crear un área de excursión para los automovilistas a lo largo de una autopista. Será rectangular, tendrá un área de 5000 yardas cuadradas y se cerrará por los tres lados no adyacentes a la vía. Exprese el número de yardas de cercado que se necesita como una función de la longitud del lado no cercado. ¿Cuál es la cantidad mínima de cercado necesario?

Criterio de 2da derivada para extremos Relativos: Cálculo (Adm) - clase 2.1 Criterio de 2da derivada para extremos Relativos: Sea c un valor crítico de la función f tal que f ´(c) = 0 y f ´´(x) existe para toda x en algún intervalo abierto que contiene c. c x y Min Rel Si f ´´(c) > 0, entonces f tiene un mínimo relativo en x = c. c x y Max Rel. Si f ´´(c) < 0, entonces f tiene un máximo relativo en x = c. 3

Criterio de 2da derivada para extremos Absolutos: Cálculo (Adm) - clase 2.1 Criterio de 2da derivada para extremos Absolutos: Se supone que f (x) es continua en un intervalo I, donde x = c es el único valor crítico y que f ´(c) = 0, entonces. c x y Min Abs. Si f ´´(c) > 0, el mínimo Absoluto de f (x) en I es f (c) . c x y Max Abs.. Si f ´´(c) < 0, el máximo Absoluto de f (x) en I es f (c) . 4

Ejemplo 1: Halle el máximo y mínimo relativo de la función: Ejemplo 2: Resolver el problema motivador de la diapositiva 2.

Procedimiento general para optimización Cálculo (Adm) - clase 2.1 Procedimiento general para optimización Decida qué desea optimizar, luego asigne nombres a todas las variables de interés. Dibuje una figura, si es apropiado, y halle una expresión para lo que se desea optimizar. Utilice toda ecuación que involucra las variables para eliminar todas menos la que se va a optimizar. Utilice los criterios estudiados para optimizar. 6

Criterios de marginalidad para el costo medio mínimo: 13/04/2017Cálculo (Adm) - clase 2.1 Criterios de marginalidad para el costo medio mínimo: El costo medio C(q) se minimiza en el nivel de producción “q” donde el costo medio iguala al costo marginal; es decir C(q) = C´(q) 7 7

¿En qué nivel de producción es mínimo el costo promedio por unidad? 13/04/2017Cálculo (Adm) - clase 2.1 Ejemplo 1: Suponga que el costo total de fabricar q unidades de cierto artículo es C(q) = 0,25q2 + 3q + 400 dólares ¿En qué nivel de producción es mínimo el costo promedio por unidad? 8 8

Criterios de marginalidad para máxima utilidad: 13/04/2017Cálculo (Adm) - clase 2.1 Criterios de marginalidad para máxima utilidad: La utilidad U(q) = R(q) – C(q) se maximiza en un nivel de producción “q” donde el ingreso marginal iguala al costo marginal y la razón de cambio del costo marginal excede a la razón de cambio del ingreso marginal; es decir, R´(q) = C´(q) y R´´(q) < C´´(q) 9 9

Suponga que el costo total de fabricar q unidades 13/04/2017Cálculo (Adm) - clase 2.1 Ejemplo 2: Suponga que el costo total de fabricar q unidades de cierto artículo es: C(q) = 0,2q2 + 4q + 400 dólares y las q unidades pueden venderse a un precio de p = 400 – 2q dólares la unidad. Determine el nivel de producción que maximiza la utilidad. 10 10