Ejemplo de solución de sistemas de ecuaciones por el método de Gauss Jordan

Resolver el siguiente sistema de ecuaciones por el método de gauss jordan Este es el sistema de ecuaciones a resolver Paso 1. Se forma la matriz aumentada NOTA IMPORTANTE: El objetivo del método es lograr formar una matriz identidad de esta forma. Donde el sistema tiene la siguiente solución: x = a y = b z = c

Solución por el método de gauss jordan Paso 1. Se forma la matriz aumentada Paso 2. Como se busca obtener una diagonal de “1” en el primer renglón ya tenemos un número 1. Nuestro objetivo ahora será hacer obtener ceros debajo de este número “1” Al numero “1” de la diagonal se le denomina “elemento pivote”; sobre éste vamos a apoyarnos para hacer ceros los números arriba y debajo de dicho numero con operaciones de eliminación renglón

Solución por el método de gauss jordan Identificamos Renglón, Columna y elemento pivote Renglón pivote Elemento pivote Columna pivote Seleccionamos el renglón pivote [ ] Seleccionamos un renglón diferente al renglón pivote Como el objetivo es hacer “0” el número debajo del renglón pivote ¿Por qué número debemos multiplicar el renglón pivote?

Solución por el método de gauss jordan Modificamos el segundo renglón con la operación de eliminación renglón (-2) [ ] 1 -3 -2 Ahora modificamos el tercer renglón ¿Por qué número multiplicamos el renglón pivote ahora? (-3) [ ] 3 -2 -1 2 -8 -4 -7 ¿Cómo queda la nueva matriz?

Solución por el método de gauss jordan Ya transformamos la primera columna, ahora vamos con la segunda; afortunadamente ya hay un “1” como nuevo elemento pivote 1 Nuevo renglón pivote 1 (-2) [ 0 1 -3 -2 ] 1 2 1 3 ¿Qué hacemos ahora? Hay que transformar en ceros los números arriba y abajo del nuevo elemento pivote 1 7 7 (8) [ 0 1 -3 -2 ] 0 -8 -4 -7 -28 -23 Se repite la eliminación renglón La siguiente matriz queda:

Solución por el método de gauss jordan El siguiente elemento pivote es “28”; el cual debe ser transformado en “1” sin alterar la ecuación ¿Cómo lo hacemos? 1 1 Convertimos el elemento pivote en “1” para facilitar las operaciones; dividimos todo el renglón entre el número pivote (-28) obteniendo el siguiente resultado En otras palabras: Cada renglón representa una ecuación, si dividimos todo el renglón entre -28 obtenemos el “1” que estamos buscando 1 1 1

Solución por el método de gauss jordan Realizamos la operación de eliminación renglón Nuevo renglón pivote (-7) [ 0 0 1 23/28 ] 1 0 7 7 1 5/4 (3) [ 0 0 1 23/28 ] 0 1 -3 -2 1 13/28 Finalmente la matriz queda Leyéndose el siguiente resultado: x = 5/4 y = 13/28 z = 23/28

Solución por el método de gauss jordan Sistema de ecuaciones original Respuestas: x = 5/4 y = 13/28 z = 23/28