Tema 8 FUNCIONES, LÍMITES Y CONTINUIDAD @ Angel Prieto Benito Apuntes 1º Bachillerato CT

Apuntes 1º Bachillerato CT CALCULO DE LÍMITES Tema 8.7bis * 1º BCT @ Angel Prieto Benito Apuntes 1º Bachillerato CT

De funciones racionales Al calcular el límite de una función racional, y = P(x) / Q(x), en el infinito, donde P(x) y Q(x) son polinomios de grado igual o superior a la unidad, nos resultará: Lím P(x) / P(x) = [+oo/+oo] o [- oo/+oo] o [+oo/-oo] o [-oo/-oo] x +oo O también: x – oo Las cuatro expresiones señaladas son similares. Todas ellas indican un valor desconocido, indeterminado. Todas ellas son llamadas INDETERMINACIONES. Su valor, si le hay, se determinará aplicando una estrategia concreta. El resultado puede ser: + oo, – oo, 0, o un número real cualquiera, tanto positivo como negativo. @ Angel Prieto Benito Apuntes 1º Bachillerato CT

Indeterminada [oo/oo] Sabemos que oo / k = oo siempre. Sabemos que k / oo = 0 siempre. Pero si al calcular un límite nos encontramos con el cociente oo / oo, no podemos saber a priori si el resultado es 0, oo u otro valor distinto. Decimos que es una INDETERMINACIÓN, y se denota así [oo / oo] Hay que resolver dicha indeterminación. Para ello se divide numerador y denominador entre la potencia de x elevada al mayor de los exponentes que presente dicha variable. N(x) / xm Lím f(x) = Lím -------------- xa xa D(x) / xm Donde m es el mayor de los grados de los polinomios N(x) y D(x) @ Angel Prieto Benito Apuntes 1º Bachillerato CT

Apuntes 1º Bachillerato CT Ejemplo 1 2.x3 - 3x + 1 2.oo3– 3.oo + 1 oo lím ‑‑‑‑‑‑‑------------- = --------------------- = [-----] xoo x3 – x2 - 5 oo3 – oo2 – 5 oo Se divide numerador y denominador entre x elevada al mayor de los exponentes ( x3 ) 2 - (3/x2)+ (1/x3) 2 – (3/oo) + (1/oo) 2 – 0 + 0 lím ‑‑‑‑‑‑‑‑----------------- = -------------------------- = ------------- = 2/1 = 2 xoo 1 – (1/x) – (5/x3) 1 – (1/oo) – (5/oo) 1 – 0 - 0 @ Angel Prieto Benito Apuntes 1º Bachillerato CT

Apuntes 1º Bachillerato CT Ejemplo 2 2.x3 - 3x + 1 2.oo3– 3.oo + 1 oo lím ‑‑‑‑‑‑‑------------- = ------------------------ = [-------] xoo 5 - x2 5 - oo2 - oo Se divide numerador y denominador entre x elevada al mayor de los exponentes ( x3 ) 2 - (3 / x2) + (1 / x3) 2 – (3/oo) + (1/oo) 2 – 0 + 0 lím ‑‑‑‑‑‑‑‑--------------------- = -------------------------- = -------------- = xoo (5 / x3 ) - (1 / x) (5/oo) - (1/oo) 0 – 0 = 2 / 0 = oo  Vemos que NO existe límite en el infinito. @ Angel Prieto Benito Apuntes 1º Bachillerato CT

Apuntes 1º Bachillerato CT Ejemplo 3 2.x2 + 1 2.oo2 + 1 oo lím ‑‑‑‑‑‑‑---------- = ------------------------ = [-------] xoo 5 - 4.x3 5 – 4.oo3 - oo Se divide numerador y denominador entre x elevada al mayor de los exponentes ( x3 ) 2/x + (1 / x3) (2/oo) + (1/oo) 0 + 0 0 lím ‑‑‑‑‑‑‑‑---------------- = ----------------------- = ---------- = ---- = 0 xoo (5 / x3 ) - 4 (5/oo) - 4 0 – 4 – 4 Vemos que existe límite en el infinito y vale 0. @ Angel Prieto Benito Apuntes 1º Bachillerato CT

Indeterminada [oo - oo] Sabemos que k + oo = oo siempre. Sabemos que k - oo = - oo siempre. Pero si al calcular un límite nos encontramos con una diferencia oo - oo, no podemos saber a priori si el resultado es 0, oo u otro valor distinto. Decimos entonces que es una INDETERMINACIÓN, y se denota así [oo - oo] Hay que resolver dicha indeterminación. Para ello se multiplica y divide por el conjugado de la expresión que ha dado lugar a la indeterminación. Si el resultado es otra indeterminación, se procederá a resolverla. @ Angel Prieto Benito Apuntes 1º Bachillerato CT

Apuntes 1º Bachillerato CT Ejemplo 1 lím x – √(x2 - x) =[oo – oo] = xoo (x – √(x2 - x)). (x + √ (x2 - x)) Lím ----------------------------------------------------- = xoo x + √ (x2 - x) x2 - ( x2 - x ) x Lím ------------------------------ = Lím ------------------------- = xoo x + √ (x2 - x) xoo x + √ (x2 - x) Simplificando todo entre x, queda: 1 1 Lím ------------------------------ = ------------------------- = 1 / (1+1) = 1 / 2 xoo 1 + √ (1 - 1/x) 1 + √ ( 1 – 0) @ Angel Prieto Benito Apuntes 1º Bachillerato CT

Apuntes 1º Bachillerato CT Ejemplo 2 lím √ (x2 - 2x + 3) – x =[oo – oo] = xoo (√ (x2 - 2x + 3) – x ). (√ (x2 - 2x + 3) + x) Lím ----------------------------------------------------------- = xoo √ (x2 - 2x + 3 ) + x x2 – 2.x + 3 - x2 - 2x + 3 Lím -------------------------------- = Lím ---------------------------- = xoo √ (x2 - 2x + 3) + x xoo √ (x2 - 2x + 3) + x Simplificando todo entre x, queda: - 2 + 3 / x - 2 + 0 Lím --------------------------------- = ----------------------- = - 2 / (1+1) = - 2 / 2 = -1 xoo √ (1 - 2/x + 3/ x2) + 1 √ ( 1 – 0 + 0) + 1 @ Angel Prieto Benito Apuntes 1º Bachillerato CT

Apuntes 1º Bachillerato CT Indeterminada [0.oo] Sabemos que 0.k = 0 siempre. Sabemos que oo.k = oo siempre. Pero si al calcular un límite nos encontramos con el producto 0.oo, no podemos saber a priori si el resultado es 0, oo u otro valor distinto. Decimos entonces que es una INDETERMINACIÓN, y se denota así [0.oo] Hay que resolver dicha indeterminación. Para ello se multiplican las expresiones, se factoriza numerador y denominador y se simplifica la expresión: Lím f(x). Lím g(x) = [0.oo] = Lím f(x).g(x) = … = L xa xa xa Para ello sabemos que el límite de un producto es el producto de los límites ( Propiedad operativa de los límites ) cuando la variable x tiende al mismo valor. @ Angel Prieto Benito Apuntes 1º Bachillerato CT

Apuntes 1º Bachillerato CT Ejemplo 1 x x2 - 1 1 0 lím ‑‑‑‑‑‑‑ . Lím ----------- = --- . --- = [oo.0] x1 x - 1 x1 x 0 1 x x2 - 1 x3 - x 0 lím ‑‑‑‑‑‑‑ . ----------- = lim ----------- = [----] x1 x - 1 x1 x1 x2 - x 0 Factorizamos los polinomios existentes que se puedan: x (x+1).(x-1) x+1 1+1 lím ‑‑‑‑‑‑‑‑------------- = lím ------- = ---- = 2 x1 (x – 1).x x1 1 1 @ Angel Prieto Benito Apuntes 1º Bachillerato CT

Apuntes 1º Bachillerato CT Ejemplo 2 1 x3 + 1 1 0 lím ‑‑‑‑‑‑‑ . Lím ---------- = --- . --- = - [oo.0] x -1 x +1 x- 1 x 0 -1 Multiplicamos ambas funciones: x3 +1 0 (x+1).(x2 – x +1) (x2 – x +1) lím ‑‑‑‑‑‑‑‑-- = [ --- ] = lim ----------------------- = lím --------------- = x- 1 x2 +x 0 x-1 (x +1).x x- 1 x (-1)2 – (-1) + 1 1 + 1+ 1 3 = ‑‑‑‑‑‑‑‑----------------- = ------------- = ---- = - 3 - 1 -1 -1 Como se ve, al resolver una indeterminación ha dado lugar a otra diferente. El limite resultante no vale ni 0 ni oo. @ Angel Prieto Benito Apuntes 1º Bachillerato CT