El poder generalizador de los SIMBOLOS Álgebra y El poder generalizador de los SIMBOLOS

Veamos la siguiente situación: “La edad de mi padre equivale a tres veces, mi edad aumentada en 5 años” ¿Cómo se puede escribir matemáticamente esta situación?

OBJETIVOS Conocer conceptos básicos de algebra: Término Algebraico: Coeficiente Numérico Factor Literal Grado Signo Expresión Algebraica Clasificar expresiones algebraicas Operar con expresiones algebraicas

Contenidos Definiciones 2. Operaciones algebraicas 1.1 Término algebraico 1.2 Expresión algebraica 1.3 Clasificación de las expresiones algebraicas 1.4 Términos semejantes 2. Operaciones algebraicas 2.1 Adición y sustracción (Reducción de Términos Semejantes)

1. Definiciones 1.1 Término Algebraico Factor Literal Es la relación entre números y letras donde intervienen operaciones como la multiplicación, división, potencias y/o raíces. Consta de un “Coeficiente numérico”, un “factor literal” y el “grado”. Coeficiente Grado Numérico 23x5y8 Factor Literal 5 + 8 = 13

Ejemplos: 2q 5p, mn3p, 3a4b, 7 Obs: 1) 1x=x

1.2 Expresión algebraica Es la relación entre términos algebraicos, separados solo por la adición y/o sustracción. Ejemplos: 1) 9x7 – 4 5y 2) 5m2 + 2ab3 – 4p + 3q 3) 6x4y5 + 3pq – 7m 2

Expresión algebraica que consta de un término algebraico. 1.3 Clasificación: Monomio Expresión algebraica que consta de un término algebraico. Ejemplos: 1) 36x5, 2) 8ab3, 3) 73p4q2 Polinomio Expresión algebraica que consta de dos o más términos algebraicos.

1) Binomio: Polinomio que consta de dos términos. Ejemplo: 2m3n4 + 7ab 2) Trinomio: Polinomio que consta de tres términos algebraicos. Ejemplo: 3a6b2 + 8ab – 5a7 3) Polinomio o Multinomio: Polinomio que consta de más de tres términos algebraicos. Ejemplo: 3x – 2y + 3yx – 4z + 6

1.4 Términos Semejantes Son aquellos términos algebraicos, o monomios que tienen los mismos factores literales. Ejemplo: - Los términos 7m3n y 2m3n son semejantes. - Los términos 3p2 y 9p5 NO son semejantes.

2. Operaciones algebraicas 2.1 Adición y Sustracción Sólo pueden ser sumados o restados los coeficientes numéricos de los términos semejantes, es decir, se reducen sólo los coeficientes numéricos, el factor literal permanece inalterable. Ejemplo: mn5p + 4mn5p – 8mn5p = (1 + 4 – 8) mn5p = – 3mn5p

Ejercitemos lo aprendido: Reducir los términos semejantes: 1) 4x + 3x2 + 2x2 + 7x = 2) 3(x + 7) + 2(x + 3) =

2.2 Multiplicación: Monomio por monomio: El producto se hace término a término y (coeficiente con coeficiente y factor literal con factor literal y sumando exponente de las variables iguales) Monomio por monomio: Se multiplican los coeficientes numéricos y los factores literales entre sí. Ejemplo: 6a ∙ 3ab = 18a2b Monomio por polinomio: Se multiplica el monomio por cada término del polinomio. Ejemplo: 5pq3 (2p3q + 4pq5 – 6pq) = 10p4q4 + 20p2q8 – 30p2q4

Polinomio por Polinomio: Se multiplica cada término del primer polinomio por cada término del segundo polinomio. Coeficiente con coeficiente y factor literal con factor literal y sumando exponente de las variables iguales. Ejemplo: (2x + y)(3x + 2y) = 6x2 + 4xy + 3xy + 2y2 = 6x2 + 7xy + 2y2

Ejemplo: ¿Cómo se resuelve correctamente? (x + 7)(x + 3) =x² + 3x + 7x +21 1. =x² + 10x + 21 (Reduciendo términos semejantes)

Producto de binomio con factor común: (ax + b)∙(ax +c) = (ax)2 + (b + c)∙ax + b∙c Ejemplo 1: Aplicando la fórmula... (3x + 4)∙(3x + 2) = (3x)2 + (4 + 2)∙3x + 4∙2 Desarrollando... = 9x2 + 18x + 8 Esta propiedad sólo se cumple cuando los binomios tienen un término en común.

(y - 4)∙(y + 2) = y2 + (-4 + 2)y - 4∙2 = y2 – 2y - 8 Ejemplo 2: Aplicando la fórmula... (y - 4)∙(y + 2) = y2 + (-4 + 2)y - 4∙2 Desarrollando... = y2 – 2y - 8

2.1 Productos Notables Cuadrado de Binomio: Son aquellos productos cuyos factores cumplen con ciertas características que permiten llegar al resultado, sin realizar todos los pasos de la multiplicación. Cuadrado de Binomio: (I +II)2 = I2 + 2*I*II + II2 (I - II)2 = I2 – 2*I*II + II2

a b b a (5x – 3y)2 = (5x)2 - 2(5x∙3y) + (3y)2 = 25x2 - 30xy + 9y2 Ejemplo: (5x – 3y)2 = (5x)2 - 2(5x∙3y) + (3y)2 = 25x2 - 30xy + 9y2 La fórmula del Cuadrado de Binomio se puede obtener geométricamente: a b b a 2

Suma por su diferencia: (a + b)∙(a – b) = a2 – b2 Ejemplo: Aplicando la fórmula... (5x + 6y)∙(5x – 6y) = (5x)2 – (6y)2 = 25x2 – 36y2

Cubo de binomio: (I + II)3 = I3 + 3*I2*II + 3*I*II2 + II3

(3x)3 – 3∙(3x)2∙2y + 3∙(3x)∙(2y)2 – (2y)3 Ejemplo: Aplicando la fórmula... (3x – 2y)3 = (3x)3 – 3∙(3x)2∙2y + 3∙(3x)∙(2y)2 – (2y)3 Desarrollando potencias... = 27x3 – 3∙(9x2)∙2y + 3∙(3x )∙(4y2)– 8y3 Multiplicando... = 27x3 – 54x2y + 36xy2– 8y3

Cuadrado de trinomio: (a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2ab + 2ac + 2bc Ejemplo: (2x + 3y + 4z)2 = ? Aplicando la fórmula... = (2x)2 + (3y)2 + (4z)2 + 2(2x∙3y) + 2(2x∙4z) + 2(3y∙4z) Desarrollando... = 4x2 + 9y2 + 16z2 + 12xy + 16xz + 24yz

2.4 Factorización Factor común: 2∙x∙y + 2∙2∙x∙y∙y – 2∙3∙x∙x∙y Consiste en escribir una expresión algebraica en forma de multiplicación. Factor común: Este es el primer caso, y se emplea para factorizar una expresión en la cual todos los términos tienen algo en común (puede ser un número, una letra, o la combinación de los dos). Ejemplo: Al descomponer... 2xy + 4xy2 – 6x2y = 2∙x∙y + 2∙2∙x∙y∙y – 2∙3∙x∙x∙y (El factor común es : 2xy) = 2xy(1 + 2y – 3x)

Factor común compuesto: Cuando en una expresión algebraica, no todos los términos tienen un factor común, se agrupan convenientemente obteniendo factores comunes en cada grupo. Ejemplo: Factorizar: xz + xw + yz + yw = Agrupando... = (xz + xw) + (yz + yw) Factorizando por partes... = x(z + w) + y(z + w) Volvemos a factorizar, ahora por (z+w)... = (z + w)(x + y)

Diferencia de cubos: a3 – b3 = (a – b)(a2 + ab + b2) 8x3 – 64y3 = Ejemplo: 8x3 – 64y3 = (2x)3 – (4y)3 Aplicando la fórmula... = (2x – 4y)((2x)2 + 2x ∙ 4y + (4y)2 ) Desarrollando... = (2x – 4y)(4x2 + 8xy + 16y2 )

Suma de cubos: a3 + b3 = (a + b)(a2 - ab + b2) 27x3 + 8y3 = Ejemplo: 27x3 + 8y3 = (3x)3 + (2y)3 Aplicando la fórmula... = (3x + 2y)((3x)2 – 3x ∙ 2y + (2y)2) Desarrollando... = (3x + 2y)( 9x2 – 6xy + 4y2)

Reconocer productos notables: Ejemplos: 1) 36a2 – 81y2 = (6a + 9y)(6a – 9y) Ambos términos son cuadrados perfectos, corresponde a una suma por diferencia. 2) x2 + 5x + 6 = (x + 2)(x + 3) Corresponde a un producto de binomios con un término común..

2.5 División 1) Si x2 – 25  0, entonces x2 + x - 20 x2 - 25 Para dividir expresiones algebraicas es necesario expresarlas mediante productos, es decir, factorizar. Ejemplos: 1) Si x2 – 25  0, entonces Factorizando... = x2 + x - 20 x2 - 25 (x + 5)(x – 4) (x + 5)(x – 5) Simplificando... (x – 4) (x – 5) = Recuerda que NO se puede realizar lo siguiente: (x – 4) (x – 5)

2) Si a  b y a  - b, entonces (a + b)(a – b) (a + b)(a + b) 1 a - b Factorizando y simplificando (a + b)(a – b) : (a + b)(a + b) 1 a - b (a + b)2 a2 - b2 : 1 a - b = Dividiendo: (a + b) (a – b) 1 a - b : = (a + b) (a – b) 1 a - b = ∙ = (a + b)

3. Mínimo común múltiplo (m.c.m.) Entre monomios: Corresponde a todos los factores con su mayor exponente. Ejemplo 1: El m.c.m. entre: 3x5y2, 18x2yz6 y 9y3 es: 18x5y3z6 Ejemplo 2: El m.c.m. entre: x4y2z3 , x2y , xy6z es: x4y6z3

Entre polinomios: x2 + x x2 + 2x +1 x(x +1) (x +1)2 x(x +1)2 El concepto es igual al anterior, pero en este caso se debe factorizar previamente. Ejemplo: Determinar el m.c.m. entre: x2 + x y x2 + 2x +1 x(x +1) (x +1)2 Factorizando... m.c.m. : x(x +1)2

4. Máximo común divisor (M.C.D.) Entre monomios: Corresponde a los factores comunes con su menor exponente. Ejemplo 1: El M.C.D. entre: 3x5y2, 18x2yz6 y 9y3 es: 3y Ejemplo 2: El M.C.D. entre: a4b2, a5bc y a6b3c2 es: a4b

Entre polinomios: x2 + x x2 + 2x +1 x(x +1) (x +1)2 (x +1) El concepto es igual al anterior, pero en este caso se debe factorizar previamente. Ejemplo: Determinar el M.C.D. entre: x2 + x x2 + 2x +1 y Factorizando... x(x +1) (x +1)2 (x +1) M.C.D. :

Ejercitemos ¿Cómo se resuelve correctamente? “La edad P de mi padre equivale a tres veces, mi edad Q aumentada en 5 años” se puede expresar como Sea: P: edad de mi padre Q: mi edad Luego, el enunciado se puede expresar como P = 3(Q + 5)

Responsables: Prof. Isaías Correa M Prof. Rodrigo González P.