DÍA 05 * 1º BAD CT SUCESIONES Y LÍMITES

Progresiones aritméticas Es una sucesión en la cual cualquier término es igual al anterior más una constante, d, llamada DIFERENCIA a =  a , a , a , a , .... , a , ... , a , a  n 1 2 3 4 k n‑1 n Deducimos la fórmula principal: a = a 1 1 a = a + d 2 1 a = a + d = a + 2.d 3 2 1 a = a + d = a + 3.d 4 3 1

…………………..………. a = a + d = a + (n ‑1).d n n‑1 1 O sea: a = a + ( n ‑ 1 ).d n 1 De ella se despeja en caso necesario a , d o n. 1 a = a - (n – 1 ).d ,, d = (a - a ) / (n – 1 ) 1 n n 1 n = [ (a - a ) / d ] + 1 n 1 En la resolución de sistemas un método muy práctico es poner cualquier término en función del primero y de la diferencia.

EJEMPLO_1 En una PA el primer término vale 5 y la diferencia es 3. Hallar el término séptimo y el término duodécimo. Tenemos: a = a + ( n ‑ 1 ).d n 1 De donde: a = a + ( 7 – 1 ).3 = 5 + 6.3 = 5 + 18 = 23 7 1 a = a + ( 12 – 1 ).3 = 5 + 11.3 = 5 + 33 = 38 12 1 La PA sería: {a } = 5, 8, 11, 14, 17, 20, 23, 26, 29, 32, 35, 38, … n

EJEMPLO_2 En una PA el primer término vale 5 y la diferencia es - 4. Hallar el término quinto y el término undécimo. Tenemos: a = a + ( n ‑ 1 ).d n 1 De donde: a = a + ( 5 – 1 ).(-4) = 5 + 4.(-4) = 5 - 16 = - 11 5 1 a = a + ( 11 – 1 ).(-4) = 5 + 10.(-4) = 5 - 40 = - 35 11 1 La PA sería: {a } = 5, 1, -3, -7, -11, -15, -19, -23, - 27, - 31, - 35, … n

EJEMPLO_3 En una PA el noveno término vale 5 y la diferencia es 7. Hallar el primer término. Tenemos: a = a + ( n ‑ 1 ).d n 1 De donde: a = a - ( 9 – 1 ).7 = 5 - 8.7 = 5 - 56 = - 51 1 9 La PA sería: {a } = - 51, - 44, - 37, - 30, - 23, - 16, - 9, - 2, 5, … n

Suma de términos en P.A. Sea la P.A. an = 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15 Observar que 1+15 = 3+13 = 5+11 = 7+9 , es siempre 16 En toda P.A. la suma del primero y del último es igual a la suma del segundo con el penúltimo, e igual a la suma del tercero con el antepenúltimo, ... O sea que la suma (a1 + an) se repite n / 2 veces, quedando: (a1 + an) S = (a1 + an) . (n/2) , o lo que igual: S = ‑--------‑‑‑‑ . n 2

Ejemplo_1 Hallar la suma de los 35 primeros múltiplos de 7. La P.A. sería: an = 7, 14, 21, 28, … Donde a1 = 7 , d = 7 y n = 35 Hallamos a35 = a1 + ( 35 – 1).7 = 7 + 34.7 = 7 +238 = 245 Y aplicando la suma S = (a1 + an) . (n/2) , queda: S = (7 + 245) . (35/2) = 252.17,5 = 4410

Ejemplo_2 Los alumnos de una clase se colocan en filas, pero de forma que en la1ª fila hay 1 alumno, en la 2ª fila hay 2 alumnos, en la 3ª fila hay 3 alumnos y así sucesivamente hasta completar 11 filas. ¿Cuántos alumnos hay en esa clase? La sucesión de alumos por cada fila sería: an = 1, 2, 3, 4, …, 11 Sería una PA donde a1 = 1 , d = 1 y n = 11 Hallamos a11 = a1 + ( n – 1).d = 1 + 10.1 = 11 (En este caso sobraría, pero en la mayoría de las circunstancias hay que hallarlo al desconocerse su valor) Y aplicando la suma S = (a1 + an) . (n/2) , queda: S = (1 + 11) . (11/2) = 12.5,5 = 66 En la clase habría 66 alumnos en total.

Ejemplo_3 En una PA el primer término vale 3, la diferencia vale 0,25 y la suma de todos los términos de la progresión vale 28. Hallar el número de términos. Nos dicen que es una PA donde a1 = 3 , d = 0,25 y S = 28 Hallamos el último término: an = a1 + ( n – 1).d = 3 + (n – 1).0,25 Y aplicando la suma S = (a1 + an) . (n/2) , queda: 28 = (3 + 3 + (n – 1).0,25) . (n/2) Operando: 28 = (6 + 0,25.n – 0,25).(n/2) 28 = 3.n + 0,125.n2 – 0,125.n Ordenando queda: 0,125.n2 + 2,875.n – 28 = 0 Multiplicando por 1000 queda: 125.n2 + 2875.n – 28000 = 0 Dividiendo entre 125 queda: n2 + 23.n – 224 = 0 Resolviendo la ecuación: n = 101 términos La otra posible solución de n no vale al ser negativa.

11.6 Progresiones geométricas Es una sucesión en la cual cualquier término es igual al anterior multiplicado por una constante, r , llamada RAZÓN . a = a , a , a , a , .... , a , ..., a , a n 1 2 3 4 k n‑1 n Deducimos la fórmula principal: a = a 1 1 a = a . r 2 1 2 a = a . r = a . r 3 2 1 3 4 3 1

……………... n-1 a = a . r = a . r n n‑1 1 O sea: n‑1 a = a . r n 1 De ella se despeja en caso necesario a , d o n. 1 n-1 n-1 a = a / r ,, r = √ (a / a ) 1 n n 1 n = Aplicando logaritmos ( 4º ESO)

EJEMPLO_1 En una PG el primer término vale 5 y la razón 2. Hallar el término séptimo y el término duodécimo. Tenemos: n-1 a = a . r n 1 De donde: 7-1 6 a = a . 2 = 5 . 2 = 5 . 64 = 320 7 1 12-1 11 a = a . 2 = 5 . 2 12 1 La PG sería: {a } = 5, 10, 20, 40, 80, 160, 320, … n

EJEMPLO_2 En una PG el primer término vale 5 y el quinto vale 125. Hallar la razón. Tenemos: n-1 a = a . r n 1 De donde: 5-1 4 4 4 a = a . r ,, 125 = 5 . r ,, 25 = r ,, r = √ 25 = √ 5 5 1 La PG sería: {a } = 5, 5 √ 5, 25, 25 √ 5 , 125, … n

EJEMPLO_3 En una PG el noveno término vale 10 y la razón vale 5. Hallar el primer término. Tenemos: n-1 a = a . r n 1 De donde: 9 -1 8 7 -7 a = a / 5 = 10 / 5 = 2 / 5 = 2. 5 1 9 La PG sería: -7 - 6 -5 {a } = 2. 5 , 2.5 , 2.5 , … n

Suma de términos en P.G. 1 2 3 4 k n‑1 n 1 2 3 n‑1 n 1 n a1 - an Demostramos la fórmula de la suma: S = a + a + a + a + ... + a + .... + a + a 1 2 3 4 k n‑1 n Si multiplico todo por la razón r, queda : S.r = a .r + a . r + a . r + ... + a .r + a .r 1 2 3 n‑1 n Restando una de otra expresión : S ‑ S.r = a ‑ a . r 1 n a1 - an S.(1 ‑ r ) = a ‑ a . r  S = ------------ 1 n 1 - r

AMPLIACIÓN: La fórmula anterior en muchas ocasiones hay que combinarla con la fórmula principal, quedando una nueva fórmula de la suma: n a . ( 1‑ r ) 1 S = ‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑--‑ 1 ‑ r

Ejemplo_1 En un tablero de ajedrez se pone 1 € en la primera casilla, 2 € en la segunda, 4 € en la tercera y así sucesivamente hasta la 64ª casilla. Hallar la suma de todos los euros colocados. La P.G. sería: an = 1, 2, 4, 8, 16, … Donde a1 = 1 , r = 2 y n = 64 64-1 63 Hallamos a64 = a1 . 2 = 2 Y aplicando la suma S = (a1 - an r ) / (1- r.) queda: 63 64 19 S = (1 - 2 . 2) / ( 1 – 2 ) = 2 - 1 = 1,8 . 10

Ejemplo_2 En una población un vecino se entera de una noticia importante y en una hora se la comunica a cuatro vecinos, cada uno de los cuales, también en una hora, la transmite a su vez a otros cuatro, y así sucesivamente. ¿Cuántos vecinos conocerán la noticia al cabo de 12 horas?. La sucesión de vecinos informados hora a hora sería: an = 1, 4, 16, … Está claro que es una P.G. donde a1 = 1 , r = 4 y n = 12 12-1 11 Hallamos a12 = a1 . 4 = 4 Y aplicando la suma S = (a1 - an r ) / (1- r.) queda: 11 12 S = (1 - 4 . 4) / ( 1 – 4 ) = ( 4 - 1 ) / 3 = 5.592.405

Límite de una sucesión Una sucesión es una función real cuyo dominio es el conjunto de los números naturales N. Una sucesión de números reales tiene por límite el número real a cuando, dado un número real r positivo, por pequeño que sea, existe un término de la sucesión tal que todos los siguientes a él verifican: |an – a| < r El límite se representa por la notación. Lím an = a noo Si una sucesión tiene por límite un número real se llama convergente. En caso contrario se llama divergente. Aparece el +oo o el - oo

Ejemplo 1 2n - 1 Sea la sucesión an = -------- n Hallar su límite. Calcular la distancia entre el término a10 y el límite. Hallar el término a partir del cual esa distancia es menor que una milésima. Hallamos el valor de algunos términos: a1 = 1, a10 = 1’9, a100 = 1’99 Lím an = 2 noo Hallamos la distancia de a10 al límite | a10 - a | = |1,9 – 2| = |-0’1| = 0’1 Hallamos el término pedido: | an - a | < r  | an - 2 | < 0,001 2n – 1 2n – 1 – 2n | -------- - 2 | < 0,001  | ----------------- | < 0,001 n n 1/n < 0,001  1 < 0,001.n  1/0,001 < n  n > 1000  n=1001

Ejemplo 2 2 – 3n Sea la sucesión bn = --------- n + 1 Hallar su límite. Calcular la distancia entre el término b20 y el límite. Hallar el término a partir del cual esa distancia es menor que una diezmilésima. Hallamos el valor de algunos términos: b1 = -0’5, b20 = -2’7619, b2000 = -2’9975 Lím bn = - 3 noo Hallamos la distancia de a20 al límite | b20 - b | = |- 2’7619 – (-3)| = |3 – 2’7619 | = 0’2381 Hallamos el término pedido: | bn - b | < r  | bn – (-3) | < 0,0001 2 – 3n 2 – 3n + 3n + 3 | ----------- - (-3) | < 0,0001  | --------------------- | < 0,0001 n + 1 n +1 5/(n+1) < 0,0001  5 < 0,0001.n + 0,0001  5 – 0’0001 < 0’0001n 4’9999 < 0,0001n  4’9999 /0’0001 < n  n > 49999  n=50000

Sucesión creciente y decreciente Sucesión creciente es aquella en que el valor de los términos crece respecto a los términos anteriores. Se deberá cumplir an+1 – an ≥ 0 Sucesión decreciente es aquella en que el valor de los términos decrece respecto a los términos anteriores. Se deberá cumplir an+1 – an ≤ 0 Si una sucesión es creciente y está acotada superiormente, entonces es convergente. Si una sucesión es decreciente y está acotada inferiormente, entonces es convergente. Si no se produce alguno de los casos anteriores entonces es divergente.

Ejemplo 1 3n - 1 Sea la sucesión an = -------- 2n Hallar su límite. Ver si es creciente o decreciente. Hallamos el valor de algunos términos: a1 = 1, a10 = 1’45, a100 = 1’495 Lím an = 1,5 noo Crecimiento 3(n+1) – 1 3n + 1 n(3n+2) – (n+1)(3n+1) an+1 - an = -------------- – ----------- = ------------------------------- = 2(n+1) 2n 2n(n+1) 3n2 +2n – (3n2 +4n+1) – 2n – 1 – = ------------------------------- = -------------- = ---- = –  Decreciente 2n(n+1) 2n(n+1) +

Ejemplo 2 2 – n Sea la sucesión an = -------- n + 1 Hallar su límite. Ver si es creciente o decreciente. Hallamos el valor de algunos términos: a1 = 0,5 a10 = -0,7272 a100 = -0,9703 Lím an = - 1 noo Crecimiento 2 – (n+1) 2 – n (n+1)(1 – n) – (n+2)(2 – n) an+1 - an = -------------- – ----------- = ----------------------------------- = (n+1) + 1 n + 1 (n+2)(n+1) 1 – n2 – (4 – n2) – 3 – = ----------------------- = ---------------- = ---- = –  Decreciente (n+2)(n+1) (n+2)(n+1) +