ANÁLISIS Y PROCESAMIENTO AVANZADO DE SEÑALES Notas clase 5 ( Parte 2 ) - Curso de Posgrado APAS´2011 19/08/2011 ANÁLISIS Y PROCESAMIENTO AVANZADO DE SEÑALES Clase 5 – Parte 2 Dra. María Eugenia Torres Dr. Hugo Leonardo Rufiner Dr. Diego H. Milone Universidad Nacional de Entre Ríos Facultad de Ingeniería Laboratorio de Señales y Dinámicas no Lineales Universidad Nacional del Litoral Facultad de Ciencias Hídricas SINC(i) 19/08/2011 APAS´2011 M.E. Torres 1

Sistemas Lineales y Filtros Notas clase 5 ( Parte 2 ) - Curso de Posgrado APAS´2011 19/08/2011 Sistemas Lineales y Filtros Filtros lineales invariantes en el tiempo Integrales de Fourier en L1 y en L2. Propiedades. Discretización Filtros lineales discretos invariantes en el tiempo. Señales finitas. 19/08/2011 APAS´2011 M.E. Torres

Notas clase 5 ( Parte 2 ) - Curso de Posgrado APAS´2011 19/08/2011 de Fourier. Informe de Fourier al Institute de France (1807) f periódica puede representarse por serie de ondas senoidales armónicas. Impacto: física, ingeniería, análisis matemático. Motivación de Fourier: difusión del calor Transformada de Fourier diagonaliza todo operador lineal invariante en el tiempo  Bloques fundamentales del procesamiento de señales 19/08/2011 APAS´2011 M.E. Torres

Filtrado Lineal Invariante en el tiempo. Notas clase 5 ( Parte 2 ) - Curso de Posgrado APAS´2011 19/08/2011 Filtrado Lineal Invariante en el tiempo. Operaciones básicas del procesamiento de señales transmisión de señales remoción de ruido estacionario codificación predictiva son implementadas con operadores lineales invariantes en el tiempo 19/08/2011 APAS´2011 M.E. Torres

Notas clase 5 ( Parte 2 ) - Curso de Posgrado APAS´2011 19/08/2011 Filtrado Lineal Invariante en el tiempo. Operador lineal invariante en el tiempo L f g 19/08/2011 APAS´2011 M.E. Torres

Notas clase 5 ( Parte 2 ) - Curso de Posgrado APAS´2011 19/08/2011 Delta de Dirac δ tiene soporte en { t = 0} y Si f continua: Dada g continua tal que Es Notación!!! Convergencia débil 19/08/2011 APAS´2011 M.E. Torres

Sistema Lineal Invariante en el tiempo (SLIT). Notas clase 5 ( Parte 2 ) - Curso de Posgrado APAS´2011 19/08/2011 Sistema Lineal Invariante en el tiempo (SLIT). Se caracterizan por su respuesta al impulso unitario. f continua L lineal y continua L h respuesta al impulso L donde 19/08/2011 APAS´2011 M.E. Torres

Notas clase 5 ( Parte 2 ) - Curso de Posgrado APAS´2011 19/08/2011 Sistema Lineal Invariante en el Tiempo (SLIT). Propiedades del producto de convolución Conmutativa Diferenciación Convolución con la Dirac 19/08/2011 APAS´2011 M.E. Torres

Notas clase 5 ( Parte 2 ) - Curso de Posgrado APAS´2011 19/08/2011 Sistema Lineal Invariante en el Tiempo (SLIT). Estabilidad y Causalidad Filtro causal Si L[f(t)] no depende de los valores de f(u) para u>t si u<0  La respuesta impulsiva h se denomina causal 19/08/2011 APAS´2011 M.E. Torres

Notas clase 5 ( Parte 2 ) - Curso de Posgrado APAS´2011 19/08/2011 Sistema Lineal Invariante en el Tiempo (SLIT). Propiedad de estabilidad Estabilidad garantiza que L[f(t)] esta acotada si f(t) es acotada Es suficiente que  Se dice que h es estable si es integrable Se demuestra que esta condición es también necesaria si h es una función. 19/08/2011 APAS´2011 M.E. Torres

Sistema Lineal Invariante en el tiempo (SLIT) Ejemplos Notas clase 5 ( Parte 2 ) - Curso de Posgrado APAS´2011 19/08/2011 Sistema Lineal Invariante en el tiempo (SLIT) Ejemplos Sistema Amplificación-Retardo Respuesta al impulso: Promediador Uniforme de f sobre intervalos de long. T Respuesta al impulso: 19/08/2011 APAS´2011 M.E. Torres

Notas clase 5 ( Parte 2 ) - Curso de Posgrado APAS´2011 19/08/2011 Sistema Lineal Invariante en el Tiempo (SLIT). Autovalores y autovectores Las exponenciales complejas son autovectores del operador de convolución donde (Transformada de Fourier) es el autovalor asociado en la frecuencia 19/08/2011 APAS´2011 M.E. Torres

Notas clase 5 ( Parte 2 ) - Curso de Posgrado APAS´2011 19/08/2011 Operador Lineal Operador adjunto Operador autoadjunto Autovector y autovalor Diagonalización de operadores 19/08/2011 APAS´2011 M.E. Torres

Notas clase 5 ( Parte 2 ) - Curso de Posgrado APAS´2011 19/08/2011 Sistema Lineal Invariante en el Tiempo (SLIT). Autovalores y autovectores Como las ondas sinusoidales son autovectores de los SLIT es tentador tratar de descomponer cualquier función f como “suma” de estos autovectores. Podemos expresar L[f ] directamente a partir de los autovalores . El análisis de Fourier demuestra que bajo condiciones débiles (seccional continuidad) es posible escribir L[f ] como una Integral de Fourier. 19/08/2011 APAS´2011 M.E. Torres

Integrales de Fourier en L1 y en L2 Notas clase 5 ( Parte 2 ) - Curso de Posgrado APAS´2011 19/08/2011 Integrales de Fourier en L1 y en L2 Sumable Energía finita 19/08/2011 APAS´2011 M.E. Torres

L a Transformada de Fourier en L1(R) Notas clase 5 ( Parte 2 ) - Curso de Posgrado APAS´2011 19/08/2011 L a Transformada de Fourier en L1(R) La Transformada de Fourier (FT) mide “cuantas” oscilaciones de f hay en la frecuencia . Si y es continua ( Papoullis, 1987 ) 19/08/2011 APAS´2011 M.E. Torres

L a Transformada de Fourier en L1(R) Notas clase 5 ( Parte 2 ) - Curso de Posgrado APAS´2011 19/08/2011 L a Transformada de Fourier en L1(R) Teorema (Transformada Inversa de Fourier) Si La reconstruccion no está garantizada para funciones discontinuas \hat{f} \in L^1 => f continua => reconstruccion no garantizada para f discontinua El teorema de convolucion => cada componente frecuencial e^{I \omega t} de amplitud \hat{f}(\omega) es amplificada p atenuada por \hat{h}(\omega) Teorema (de Convolución) Sea 19/08/2011 APAS´2011 M.E. Torres

La Transformada de Fourier en L1(R) Notas clase 5 ( Parte 2 ) - Curso de Posgrado APAS´2011 19/08/2011 La Transformada de Fourier en L1(R) La respuesta de un SLIT puede calcularse por su FT atenua o amplifica cada componente frecuencial ei t de amplitud Esta convolución se denomina Filtrado Frecuencial y es la Función de Transferencia del Filtro 19/08/2011 APAS´2011 M.E. Torres

La Transformada de Fourier en L1(R) Notas clase 5 ( Parte 2 ) - Curso de Posgrado APAS´2011 19/08/2011 La Transformada de Fourier en L1(R) Propiedad Función Transf. de Fourier Inversa Convolución Multiplicación Traslación Temporal Modulación Scaling Derivada Temporal Derivada Frecuencial Conjugada Compleja Simetría Hermitiana 19/08/2011 APAS´2011 M.E. Torres

La Transformada de Fourier en L2(R) Notas clase 5 ( Parte 2 ) - Curso de Posgrado APAS´2011 19/08/2011 La Transformada de Fourier en L2(R) Función Característica de [-1,1] o “Indicator Function” No puede aplicarse el Teorema de Inversión ! Es necesario extender la Transformada de Fourier a L2 (R ) 19/08/2011 APAS´2011 M.E. Torres

Notas clase 5 ( Parte 2 ) - Curso de Posgrado APAS´2011 19/08/2011 L2 es Hilbert Producto interno Norma 19/08/2011 APAS´2011 M.E. Torres

La Transformada de Fourier en L2(R) Notas clase 5 ( Parte 2 ) - Curso de Posgrado APAS´2011 19/08/2011 La Transformada de Fourier en L2(R) Teorema: Fórmula de Parseval Fórmula de Plancherel 19/08/2011 APAS´2011 M.E. Torres

La Transformada de Fourier en L2(R) Notas clase 5 ( Parte 2 ) - Curso de Posgrado APAS´2011 19/08/2011 La Transformada de Fourier en L2(R) Extensión a L2  por densidad no puede calcularse su Transformada de Fourier mediante la integral usual porque Entonces se la define como un límite usando la densidad de 19/08/2011 APAS´2011 M.E. Torres

La Transformada de Fourier en L2(R) Notas clase 5 ( Parte 2 ) - Curso de Posgrado APAS´2011 19/08/2011 La Transformada de Fourier en L2(R) Como {fn} es convergente, es una sucesión de Cauchy  Plancherel L2 es un espacio de Hilbert completo  toda sucesión de Cauchy converge en él se la define como la Transformada de Fourier de f 19/08/2011 APAS´2011 M.E. Torres

La Transformada de Fourier Ejemplos Notas clase 5 ( Parte 2 ) - Curso de Posgrado APAS´2011 19/08/2011 La Transformada de Fourier Ejemplos Función Característica Filtro Pasa-Bajo Ideal 19/08/2011 APAS´2011 M.E. Torres

La Transformada de Fourier Ejemplos Notas clase 5 ( Parte 2 ) - Curso de Posgrado APAS´2011 19/08/2011 La Transformada de Fourier Ejemplos Circuito Electrónico Pasivo Implementa filtros analógicos: resistencias, capacitores e inductores. h f(t)=g(t)=0 si t<0 Aplicando Fourier: 19/08/2011 APAS´2011 M.E. Torres

La Transformada de Fourier Ejemplos Notas clase 5 ( Parte 2 ) - Curso de Posgrado APAS´2011 19/08/2011 La Transformada de Fourier Ejemplos Función Gaussiana Chirp Gaussiano 19/08/2011 APAS´2011 M.E. Torres

La Transformada de Fourier Propiedades: Regularidad y decaimiento Notas clase 5 ( Parte 2 ) - Curso de Posgrado APAS´2011 19/08/2011 La Transformada de Fourier Propiedades: Regularidad y decaimiento Regularidad y Decaimiento La regularidad global de una señal f depende del decaimiento de cuando  aumenta i.e f es continua y acotada 19/08/2011 APAS´2011 M.E. Torres

La Transformada de Fourier Propiedades: Regularidad y decaimiento Notas clase 5 ( Parte 2 ) - Curso de Posgrado APAS´2011 19/08/2011 La Transformada de Fourier Propiedades: Regularidad y decaimiento Teorema: Si entonces la función f es acotada y p veces continuamente diferenciable con derivadas acotadas. 19/08/2011 APAS´2011 M.E. Torres

La Transformada de Fourier Propiedades: Regularidad y decaimiento Notas clase 5 ( Parte 2 ) - Curso de Posgrado APAS´2011 19/08/2011 La Transformada de Fourier Propiedades: Regularidad y decaimiento Entonces   Si tiene soporte compacto, el teorema implica que El decaimiento de depende del peor comportamiento singular de f. 19/08/2011 APAS´2011 M.E. Torres

La Transformada de Fourier Propiedades: Regularidad y decaimiento Notas clase 5 ( Parte 2 ) - Curso de Posgrado APAS´2011 19/08/2011 La Transformada de Fourier Propiedades: Regularidad y decaimiento Ejemplo: es discontinua en -T y T.  ¿ Es f regular para t  T ? Esta información no puede obtenerse a partir de la Transformada de Fourier. Para caracterizar regularidades locales se necesitan formas de onda bien localizadas en el tiempo   Onditas 19/08/2011 APAS´2011 M.E. Torres

La Transformada de Fourier Propiedades: Principio de Incertidumbre Notas clase 5 ( Parte 2 ) - Curso de Posgrado APAS´2011 19/08/2011 La Transformada de Fourier Propiedades: Principio de Incertidumbre ¿ Es posible construir una función f tal que: Su energía esté bien localizada en tiempo? Su transformada de Fourier tenga energía concentrada en un pequeño entorno de frecuencia? 19/08/2011 APAS´2011 M.E. Torres

La Transformada de Fourier Propiedades: Principio de Incertidumbre Notas clase 5 ( Parte 2 ) - Curso de Posgrado APAS´2011 19/08/2011 La Transformada de Fourier Propiedades: Principio de Incertidumbre tiene soporte restringido a t=u tiene energía distribuida uniformente en todas las frecuencias tiene decaimiento rápido a altas frecuencias, sólo si f tiene variaciones regulares en el tiempo. La energía debe estar desparramada en un tiempo “largo”. 19/08/2011 APAS´2011 M.E. Torres

La Transformada de Fourier Propiedades: Principio de Incertidumbre Notas clase 5 ( Parte 2 ) - Curso de Posgrado APAS´2011 19/08/2011 La Transformada de Fourier Propiedades: Principio de Incertidumbre Solución? ¿ Reducir la dispersión temporal de f ? Cómo? ¿ Con un cambio de escala de f ? es dilatada en 1/s 19/08/2011 APAS´2011 M.E. Torres

Dilatación en tiempo vs. frecuencia Notas clase 5 ( Parte 2 ) - Curso de Posgrado APAS´2011 19/08/2011 Dilatación en tiempo vs. frecuencia s= 1, 5, 0.2, 0.05 19/08/2011 APAS´2011 M.E. Torres

La Transformada de Fourier Propiedades: Principio de Incertidumbre Notas clase 5 ( Parte 2 ) - Curso de Posgrado APAS´2011 19/08/2011 La Transformada de Fourier Propiedades: Principio de Incertidumbre Las concentraciones de energía en tiempo y frecuencia están restringidas por el Principio de Incertidumbre de Heisenberg Interpretación en Mecánica Cuántica: El estado de una partícula unidimensional es descripto por una función de onda 19/08/2011 APAS´2011 M.E. Torres

La Transformada de Fourier Propiedades: Principio de Incertidumbre Notas clase 5 ( Parte 2 ) - Curso de Posgrado APAS´2011 19/08/2011 La Transformada de Fourier Propiedades: Principio de Incertidumbre La densidad de probabilidad de que una partícula esté localizada en t es La densidad de probabilidad de que su momentum sea igual a  es Localización promedio: Varianzas: Momentum promedio: 19/08/2011 APAS´2011 M.E. Torres

La Transformada de Fourier Propiedades: Principio de Incertidumbre Notas clase 5 ( Parte 2 ) - Curso de Posgrado APAS´2011 19/08/2011 La Transformada de Fourier Propiedades: Principio de Incertidumbre Teorema (de Incertidumbre de Heisenberg): La varianza temporal y frecuencial de satisfacen La igualdad es válida si y sólo si existen (u,,a,b)  2 x C 2 tales que Gabor Chirps 19/08/2011 APAS´2011 M.E. Torres

La Transformada de Fourier Propiedades: Principio de Incertidumbre Notas clase 5 ( Parte 2 ) - Curso de Posgrado APAS´2011 19/08/2011 La Transformada de Fourier Propiedades: Principio de Incertidumbre Soporte compacto? Teorema Si f 0, tiene soporte compacto, entonces no puede ser nula en todo un intervalo. Recíprocamente, si tiene soporte compacto, entonces f(t) no puede ser nula en todo un intervalo. 19/08/2011 APAS´2011 M.E. Torres

Transformada de Fourier f1=0,05 kHz - f2=0.025 kHz - f3=0.08 kHz

Transformada de Fourier f1=0,05 kHz - f2=0.025 kHz - f3=0.08 kHz

Contenidos Introducción Elementos de Matemáticas avanzadas. Operadores lineales. Proyecciones. Espacios vectoriales. Filtros lineales invariantes en el tiempo. Integrales de Fourier en L1 y en L2. Propiedades. Filtros lineales discretos invariantes en el tiempo. Señales finitas. Análisis tiempo-frecuencia La transformada Fourier por ventanas. La transformada ondita. Frecuencia instantánea. Energía tiempo-frecuencia instantánea. Marcos Teoría de Marcos. Marcos en Fourier y en onditas. Invariancia ante traslación. Transformada Ondita Diádica. Bases Ondita. Bases onditas ortogonales. Aproximaciones Multirresolución. Funciones escala. Filtros espejo conjugados. Clases de bases ondita. Onditas y bancos de filtros. Bases biortogonales. Aplicaciones.