CRECIMIENTO - MÁX. Y MÍN. DÍA 44 * 1º BAD CS

Cuando una función nos viene dada de forma analítica, y=f(x), su derivada f ’(x) nos da la inclinación o pendiente de la función en cada punto. EJEMPLO Hallar la derivada de y = x2 + 3x – 5 en x = -2, en x = 0, y en x = 3 Hallamos la función derivada: y ‘ = 2x + 3 f ‘(-2) = 2.(-2) + 3 = - 4 + 3 = - 1 f ‘(0) = 2.(0) + 3 = 0 + 3 = 3 f ‘(3) = 2.(3) + 3 = 6 + 3 = 9 Que es mejor que calcular las tres derivadas de la función en un punto.

EJEMPLO Hallar los máximos y mínimos relativos de la función: y = 2.x3 + 3.x2 – 12.x – 5 Hallamos su derivada: y ‘ = 6.x2 + 6.x – 12 La igualamos a cero: 6.x2 + 6.x – 12 = 0 Simplificamos: x2 + x – 2 =0 Resolvemos la ecuación: x = - 2 y x = 1 En x = -2 habrá un máximo o un mínimo relativo. En x = 1 habrá un máximo o un mínimo relativo. Normalmente si en uno de los puntos hay un máximo en el otro hay un mínimo. Para determinar si es máximo o mínimo estudiaremos su entorno.

Teníamos la función: y = 2.x3 + 3.x2 – 12.x – 5 Tabla de valores x y Máx(-2, 1) Teníamos la función: y = 2.x3 + 3.x2 – 12.x – 5 Tabla de valores x y -3 4 -2 15 -1 8 0 -5 1 -12 2 -1 3 40 -3 -2 -1 0 1 2 Mín(1, - 12

Sea la función, ya empleada: y = 2.x3 + 3.x2 – 12.x – 5 EJEMPLO Sea la función, ya empleada: y = 2.x3 + 3.x2 – 12.x – 5 Hallamos su derivada: y ‘ = 6.x2 + 6.x – 12 Simplificamos: y ‘ = 6.(x2 + x – 2 ) Resolvemos la ecuación: x = - 2 y x = 1 son las raíces de y ‘ Factorizamos: y ‘ = 6.( x + 2).(x – 1) En ( - oo, -2)  y ` > 0  Pendiente positiva  Función Creciente. En ( - 2, 1)  y ` < 0  Pendiente negativa  Función Decreciente. En ( 1, + oo)  y ` > 0  Pendiente positiva  Función Creciente.

Sea la función: y = x / (x – 1) OTRO EJEMPLO Sea la función: y = x / (x – 1) Determinar los intervalos de crecimiento y decrecimiento. En x = 1 la función presenta una asíntota vertical. Hallamos su derivada: y ‘ = [1.(x – 1)– 1.x] / (x – 1)2 Simplificamos: y ‘ = - 1 / (x – 1)2 Como y’ no puede ser 0, la función no presenta máx. ni mín. Intervalos: En ( - oo, 1)  y ` (0) = - 1 < 0  Pendiente negativa  Decreciente. En ( 1, + oo)  y `(2) = -1 < 0  Pendiente negativa  Decreciente.

Sea la función: y = 2 / (x2 – 4) OTRO EJEMPLO Sea la función: y = 2 / (x2 – 4) Determinar los intervalos de crecimiento y decrecimiento. En x = -2 y en x=2 la función presenta asíntotas verticales. Hallamos su derivada: y ‘ = [0.(x2 – 4)– 2.2x] / (x2 – 4)2 Simplificamos: y ‘ = - 4x / (x2 – 4)2 Hacemos y’ = 0  x = 0 En x = 0 la función presenta un máximo o un mínimo. Intervalos: En ( - oo, -2)  y ` (-3) = > 0  Pendiente positiva  Creciente. En ( -2, 0)  y ` (-1) = > 0  Pendiente positiva  Creciente. En ( 0, 2)  y ` (1) = < 0  Pendiente negativa  Decreciente. En ( 2, + oo)  y ` (3) = < 0  Pendiente negativa  Decreciente.

EJEMPLO Sea la función, ya empleada: y = 2.x3 + 3.x2 – 12.x – 5 ¿Para qué valor de x la pendiente de la recta tangente valdrá m=2? Hallamos su derivada: y ‘ = 6.x2 + 6.x – 12 Simplificamos: y ‘ = 6.(x2 + x – 2 ) Resolvemos la ecuación: 2 = 6.(x2 + x – 2 )  6.x2 + 6.x – 14 = 0  3.x2 + 3.x – 7 = 0  x = [ - 3 +/- √(9 + 84)] / 6 = 1,11 y - 2,11 En x = -2,11 y en x = 1,11 la pendiente de la tangente vale m=2.

EJEMPLO Hallar el valor de a para que el máximo de la función y = – 2 .x2 + 4.x + a valga 8. Derivamos e igualamos a cero, pues al ser un máximo su pendiente es nula. y`= - 4x + 4 = 0  x = 1 es la abscisa donde está el máximo. 8 = – 2 .12 + 4.1 + a  a = 8 + 2 – 4  a = 6 Hallar el valor de a y b para que la función y = x3 + a.x2 + b.x + 1 tenga un mínimo en el punto P(2, - 15) Derivamos e igualamos a cero, pues al ser un mínimo su pendiente es nula. y`= 3.x2 + 2.a.x +b = 0  x = 2 es una de las dos soluciones. 12+4.a+b = 0  b = – 4.a – 12 se debe cumplir. Sustituyendo en la función: – 15 = 23 + a.22 + (– 4.a – 12) + 1 – 15 = 8 + 4.a – 4.a – 12 + 1  12 = 24 Falso En P(2, - 15) la función no puede presentar ningún mínimo relativo.