“Universidad Nacional Federico Villarreal”

Análisis Matemático para Economistas III Profesor: Luis Figueroa Tema: Maximización de funciones de dos variables Integrantes: Cotrina Rodriguez, Cynthia Yasmin Miranda Gutierrez, Augusto Miguel Vásquez Cajo, Miguel Ángel Zúñiga Chumo, Milagros

MAXIMIZACIÓN DE FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES Un máximo de una función F(x,y) es una cima, un punto sobre la superficie Z=F(x,y) que es mas alto que cualquier punto de la superficie. APLICACIONES: 1. Una empresa produce dos tipos de agua mineral en cantidades x e y botellas respectivamente. Asumamos que el precio del agua sin gas es Px= 90-x, además el del agua con gas es de Py=90-y, siendo la función de costo conjunto de los productos igual a C(x,y)=x2+ xy + y2 ¿Cuáles deberían ser los valores de “x” y “y” para maximizar las utilidades de esta empresa? SOLUCION: Datos: .Precios Px=80-x y Py=96-y .Función de costos C=x2+xy+y2

Sabemos que la UT=Yt – Ct …(i) It : Ingreso total Ct : Costo total Primero definimos los ingresos: Ix= x(90-x) y Iy= y(90-y) Reemplazamos en (i) para obtener la utilidad total: UT=x(80-x)+y(96-y)-(x2+xy+y2 ) UT=80x-x2+96y-y2-x2-xy-y2 UT=80x+96y-2x2-2y2 Derivamos la función utilidad respecto a “x” e igualamos a cero: dUT = 80-4x=0…(ii) dx De la misma manera para “y”: dUT = 96-4y=0…(iii) dy

.De (ii) tenemos: 80-4x=0 4x=80 X=20 .De (iii) tenemos: 96-4y=0 4y=96 y=24 Reemplazamos los valores de “x” e “y” en los precios y de donde obtenemos lo siguiente: Px=80-20 y Py=96-24 Px=60 Py=72 Pto(60,72) .

Aplicamos el criterio de la segunda derivada: d2U = -4 < 0 dx2 dy2 d2U = 0 dxdy D= (-4)(-4) – (0)2 D= 16 > 0 Para maximizar las utilidades de la empresa los valores de “x” y “y” son (60,72) respectivamente

2. Una tienda de licores vende dos marcas competidoras de vino barato, una de California y otra de Nueva York. El propietario de la tienda puede obtener ambos vinos a un coste de $ 2 por botella y estima que si el vino de California se vende a “x” dólares por botella y el vino de Nueva York a “y” dólares por botella, los consumidores comprarán aproximadamente 40 – 50x + 40y botellas de vino de California y 20 + 60x – 60y botellas de vino de Nueva York cada día. ¿Qué precio deberá poner el propietario de los vinos para generar el mejor beneficio posible? UT=(x-2)(40-50x+40y) + (y-2)(20+60x-70y) UT=40x-50x2+40xy-8+100x-80y+20y+60xy-70y2-40-120x+140y UT=20x+80y+100xy-50x2-70y2-120 dUT= 20+100y-100x = 0 dx + dUT= 80+100x-140y=0 dy

Para hallar “x” e “y” 100-40y=0 100=40y 2.5=y (Nueva York)  2.7=x (California) Aplicando el criterio de la segunda derivada: d2UT = - 100<0 d2x d2UT = - 140<0 d2y d2UT = 100 dxdy Hallando la determinante: D=(-100)(-140) – (100)2 D=4000>0 Ptos (2.7;2.5)  Puntos Máximos

3. La única tienda de combustibles de una pequeña comunidad rural vende dos marcas de sumo de naranja helado, una marca local que obtiene un coste de S/. 0.30 por lata y una marca nacional muy conocida que obtiene un coste de S/: 0.40 por lata. El tendero estima que si la marca local se vende a “x” centavos por lata y la marca nacional a “y” por lata, se venderán cada día aproximadamente 70-5x+4y latas de la marca local y 80+6x-7y latas de la marca nacional. ¿Qué precios debería poner el tendero a cada marca para maximizar el beneficio en la venta del jugo? Suponga que el máximo absoluto y el máximo relativo de la función beneficio son el mismo. Solución: Beneficio = beneficio de la venta de la marca local + beneficio de la venta de la marca nacional Se sigue que el beneficio diario total de la venta del jugo viene dado por la función UT=(X-30)(70-5X+4Y) + (Y-40)(80+6X-7Y) Usando la regla del producto para calcular las derivadas parciales den UT, obtiene:

dUT = -10x+10y-20 dx dUT = 10x-14y+240 dy Iguale estas derivadas parciales a cero para concluir que: 10x+10y -20=0 … (1) 10x-14y+240=0….(2) - 4y= -220 y= 55 Reemplazando en (1): 10x+10y-20=0 10x+10(55)=20 10x= - 530 x= 53

Se sigue que (53,55) es el único punto critico de F Se sigue que (53,55) es el único punto critico de F. Use las derivadas parciales de segundo orden: Derivamos con respecto a “x”: dUT = - 10x +10y-20 dx d2UT = - 10 dx2 Derivamos con respecto a “y” dUT = 10x – 14y+240 dy d2UT = -14 dy2 Derivamos con respecto a “x” y “y” dUT = - 10x+ 10y – 20 dxdy d2UT = 10 Que conducen a D(x,y)= d2UT x d2UT – d2UT= (-10)(-14) – (10)2 = 40 dx2 dy2 dxdy

Como D(53,55)=40>0 y d2UT = - 10<0 d2UT = -14<0 dx2 dy2 Se sigue que F tiene un máximo (relativo) cuando x = 53 e y =55 Esto es, el tendero puede maximizar el beneficio vendiendo la marca local de jugo a 53 centavos la lata y la marca nacional a 55 centavos la lata.

4. La empresa “Cachorros Anónimos” focaliza su producción en la elaboración de dos tipos de bienes “t” y “s”, siendo sus respectivos precios Pt=100-t y Ps=90-s. Cuando su función de costo es C=600+20x+20y ¿Cuáles deben ser las cantidades para que la utilidad sea máxima? SOLUCION: Dados los precios Pt=100 – t Ps= 90 – s C= 600+20t+20s Definimos los ingresos: It= 100t – t2 Is= 90s – s2 La función utilidad: UT= 100t – t2 + 90s – s2 - (600 + 20t + 20s) Derivando la función utilidad con respecto a “t” e igualando a cero obtenemos: dUT = 100 – 2t – 20 =0  t = 40 dt

De la misma manera “s” obtenemos dUT = 90 – 2s – 20 = 0  s = 35 ds Por el criterio de la segunda derivada d2UT = - 2 < 0 dt2 ds2 d2UT = 0 dtds Hallando la determinante: D = (- 2) (- 2) – (0)2 D= 4 > 0  Punto (40 , 35) Máximo

5. Una empresa de utensilios de cocina presenta una función de Producción (p) dada por P(K,L)=0.54L2 - 0.02L3 + 1.89K2 - 0.09K3 En donde L y K son las cantidades de mano de obra y capital respectivamente y P es la cantidad de productos que se fabrican. ¿calcular los valores de L y K que maximizan la producción? Solución: dP = 1.08L – 0.06L2 = 0 dL dP = 3.78K – 0.27K2 = 0 dK K(3.78 – 0.27K)= 0 K = 0 L(1.08 – 0.06L)= 0 L = 0 3.78K = 0.27K2 K = 14 1.08L = 0.06L2 L = 18

Por lo tanto: Los puntos son los siguientes: Punto 1: (0,0) Luego se halla la segunda derivada: d2P = 1.08 – 0.12L dL2 d2P = 3.78 – 0.54K dK2 d2P = 0 dxdy

Posteriormente se halla la determinante en cada uno de los puntos: En el punto (0,0) D= d2P x d2P - d2P 2 dL2 dK2 dxdy D= (1.08)(3.78) – (0)2 D= 4.0824  Este es un punto mínimo En el punto (0,14) D= d2P x d2P - d2P 2 dL2 dK2 dxdy D= (1.08)(-3.78) – (0)2 D= - 4.0824  En este punto no existe ni máximo ni mínimo

En el punto (18,0) D= d2P x d2P - d2P 2 dL2 dK2 dxdy D= (-1.08)(3.78) – (0)2 D= -4.0824  En este punto no existe ni máximo ni mínimo En el punto (18,14) D= d2P x d2P - d2P 2 dL2 dK2 dxdy D= (-1.08)(-3.78) – (0)2 D=4.0824  Este es punto máximo

Y por lo tanto sacamos como respuesta que en el punto (18,14) se alcanza la máxima producción Mano de obra (L)= 18 Capital (K)= 14