Ejemplo: Una compañía dedicada al transporte público explota tres líneas de una ciudad, de forma que el 60% de los autobuses cubre el servicio de la primero línea, el 30% cubre la segunda y el 10% cubre el servicio de la tercera línea. Se sabe que la probabilidad de que, diariamente, un autobús se averíe es del 2%, 4% y 1%, respectivamente, para cada línea. Determina la probabilidad de que, en un día, un autobús sufra una avería. Solución: El suceso "sufrir una avería" (Av) puede producirse en las tres líneas, (L1, L2, L3). Según el teorema de la probabilidad total y teniendo en cuenta las probabilidades del diagrama de árbol adjunto, tenemos: P(Av) = P(L1) · P(Av/L1) + P(L2) · P(Av/L2) + P(L3) · P(Av/L3) = = 0.6 · 0.02 + 0.3 · 0.04 + 0.1 · 0.01 = 0.012 + 0.012 + 0.001 = 0.025

Ejercicios propuestos: Se realiza un estudio para estudiar el diagnóstico de seropositividad en VIH según lo valores de T4-T8, obteniéndose la siguiente tabla: VIH T4-T8 baja T4-T8 normal n Seronegativos 8 54 62 Sero+ ≤ 30 meses 10 4 14 Sero+ > 30 meses 22 2 24 Total 40 60 100 1.Describe el espacio muestral asociado 2.Calcula la probabilidad de cada uno de los sucesos

Ejercicios propuestos: La prevalencia de infarto cardíaco para hipertensos es del 0,3% y para no hipertensos del 0,1%. Si la prevalencia de hipertensión en una cierta población es del 25% ¿Cuál es la prevalencia del infarto en esa población? Solución: A1 = {ser hipertenso} A2 = {no serlo} estos sucesos constituyen un sistema competo de sucesos B = {padecer infarto} datos: p(B|A1) = 0,003; p(B|A2) = 0,001; p(A1) = 0,25 evidentemente p(A2) = 1-p(A1)=0,75 p(B) = p(B|A1)x p(A1)+ p(B|A2)x p(A2) = = 0,001 0,003x0,25 + 0,001 x 0,75 = 0,0015

Teorema de Bayes Sea A1, A2, ...,An un sistema completo de sucesos, tales que la probabilidad de cada uno de ellos es distinta de cero, y sea B un suceso cualquier del que se conocen las probabilidades condicionales P(B/Ai). entonces la probabilidad P(Ai/B) viene dada por la expresión:

Ejemplo: Si seleccionamos una persona al azar, la probabilidad de que sea diabética es 0,03. Obviamente la probabilidad de que no lo sea es 0,97. P(D)=0.03: P(NB)=0.97 Si no disponemos de información adicional nada más podemos decir, pero supongamos que al realizar un análisis de sangre los niveles de glucosa son superiores a 1.000 mg/l, lo que ocurre en el 95% de los diabéticos y sólo en un 2% de las personas sanas. P(HG/D)=0.95 P(HG/ND)=0.02 ¿Cuál será ahora la probabilidad de que esa persona sea diabética? P(HG)=P(HG/D)xP(D)+P(HG/ND)xP(ND)=0.95x0.03+0.02x0.97=0.0479 Vemos así que la información proporcionada por el análisis de sangre hace pasar, la probabilidad inicial de padecer diabetes de 0,03, a 0,595. Evidentemente si la prueba del análisis de sangre hubiese sido negativa, esta información modificaría las probabilidades en sentido contrario. En este caso la probabilidad de padecer diabetes se reduciría a 0,0016.

Solución: P(N)=P(F1) · P(N/F1) + P(F2) · P(N/F2) + P(F3) · P(N/F3) = Ejercicio propuesto: Estudiamos 1000 alumnos en tres facultades de la UAM. En la 1ª hay un neurótico por cada 10 alumnos, en la 2ª 1 por cada 15 y en la 3ª 1 por cada 20. El número de alumnos por facultad es de 200, 300 y 500. Tomamos un individuo al azar y vemos que es neurótico ¿Cuál es la probabilidad de que pertenezca a la facultad número 3? Solución: Lo que tenemos que calcular es p(F3/N), por el Teorema de Bayes tenemos En primer lugar calculamos la probabilidad de pertenecer a cada Facultad: P(F1) = 200/1000=0.2; P(F2)=300/1000=0.3; P(F3)=500/1000=0.5. En segundo lugar las probabilidades de ser neurótico en cada una de ellas: P(N/F1)=1/10=0.1; P(N/F2)=1/15=0.066; P(N/F3)=1/20=0.05 Podemos calcular por tanto la “Probabilidad Total” de ser neurótico P(N)=P(F1) · P(N/F1) + P(F2) · P(N/F2) + P(F3) · P(N/F3) = = 0.2 · 0.1 +0.3 · 0.066 + 0.5 · 0.05 = 0.064 Por último, utilizando el teorema de Bayes

Ejercicio propuesto: Una prueba diagnóstica para el cáncer uterino tiene un coeficiente falso-positivo de 0,05 y falso-negativo de 0,10. Una mujer con una probabilidad pre-prueba de padecer la enfermedad de 0,15 tiene un resultado negativo con la misma. Calcular la probabilidad de que no esté enferma. Solución: Sea NE = {la mujer no está enferma}, + = {el resultado de la prueba es positivo} y = {el resultado de la prueba es negativo}. La pregunta pide P(NE|-). Los datos que se dan son p(+|NE)=0,05; p(-|E)=0,10 y p(E)=0,15. Del primero se deduce que p(-|NE)=0,95 y del último p(NE)=0,85, por lo tanto aplicando el teorema de Bayes