Sistemas de Numeración Un sistema numérico es un conjunto de reglas y símbolos que nos permiten escribir números. Números: reales negativos y positivos, y enteros negativos y positivos Representación de números enteros no negativos Sea R (base o radio) un número mayor o igual que 2, entonces pueden representarse números enteros como una cadena de dígitos escogidos entre 0,1,2,…..,R-1. Donde la cadena es la representación en base R del entero. La base de un sistema numérico es el número de dígitos que pueden aparecer en cada posición en el sistema numérico. Ejemplo: R=3 digitos={0,1,2} Base 10---0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18 Base 3 --- 0,1,2,10,11,12,20,21,22,100,101,102,110,111,112,120,121,122,200

Sistemas de Numeración Conversión entre bases Sea el número akak-1….a1, un entero en base R. Para convertir este número de base R a base Q utilizamos la conversión: akRk-1+ak-1Rk-2+…+a1R0 (Expresión uno) Donde R es la base en la que se encuentra el número (base actual), k es el número de dígitos que conforman el número y Q es la nueva base (se debe trabajar con aritmética en base Q). Ejemplos: Convertir (100110)2 ( )10 R=2 k=6 Q=10 a6=1, a5=0, a4=0, a3=1, a2=1, a1=0 1*26-1+0*26-2+0*26-3+1*26-4+1*26-5+0*26-6= 1*25+0*24+0*23+1*22+1*21+0*20= 1*25+1*22+1*21= 32+4+2=38 Finalmente obtenemos que: (100110)2  (38)10

Sistemas de Numeración 2) Convertir (4302)5  ( )3 R=5 Q=3 k=4 a4=4, a3=3, a2=0, a1=2 Se debe trabajar con aritmética en base 3, por lo tanto necesitamos las tablas de suma y multiplicación en base 3. + 1 2 10 11 * 1 2 11 4*53+3*52+0*51+2*50= 11*123+10*122+2*120= 11*11122+10*221+2*1= 200112+2210+2= 210101 12*12 101 12 221 221*12 1212 221 11122 11122*11 11122 200112 221*10 000 221 2210 200112 + 2210 2 210101 Realizando las sumas y multiplicaciones debidas en base 3, obtenemos: (4302)5  (210101)3

Sistemas de Numeración Conversión de números de base X a base 10 (donde X10) Algoritmo 1. (Regla de Horner para la evaluación de polinomios) ik, num 0 Mientras i1 hacer num num*R+ai i i-1 fin_mientras 3. Fin Ejemplo: Convertir (4302)5  ( )10 Donde R es la base actual, k es el número de dígitos que componen el número y ai es el i-ésimo dígito del número en base X (derecha a izquierda) I num R a4 a3 a2 a1 k 4 5 3 2 23 1 115 577 Utilizando el algoritmo 1 obtenemos: (4302)5  (577)10

Sistemas de Numeración Conversión de números de base 10 a base s (donde s10) Algoritmo 2. 1. i1, q0, p 0 Repetir q [x/s] (parte entera) p x-q*s (residuo) ai p, i i+1, x  q hasta q=0 3. Fin Ejemplo: Convertir (577)10  ( )3 Donde x inicialmente es el número a convertir, s es la nueva base y ai es el i-ésimo dígito del número en base s tomando el orden akak-1…a1 x q p ai i s 577 1 3 192 2 64 21 4 7 5 6 Obtenemos: (577)10  (210101)3

Sistemas de Numeración Conversión de números de base X a base 10 (donde X10) Números fraccionarios Algoritmo 3. im, num0 Mientras i1hacer num (num+bi)/R i i-1 fin_mientras 3. Fin Ejemplo: Convertir (.A06)16  ( )10 Donde m es el número de dígitos que componen el número que queremos convertir, R es la base actual y num es el número en la nueva base. i num m R b1 b2 b3 3 16 A 6 2 .375 1 .0234375 .62646484 Obtenemos: (.A06)16  (.62646484)10

Sistemas de Numeración Conversión de números de base 10 a base s (donde s10) Números fraccionarios Algoritmo 4. 1. i1 2. Mientras i  m hacer x x*s y [x] (parte entera) x x-y, bi y, i  i+1 fin_mientras 3. Fin Ejemplo: Convertir (.62646484)10  ( )7 Donde m es el número de dígitos que se desean obtener, x es el número a convertir inicialmente, s es la nueva base y bi es el i-ésimo dígito del número en base s tomando el orden b1b2…bm i x y bi m s 1 .62646484 3 7 4.38525388 4 2 .38525388 2.69677716 .69677716 4.87744012 .87744012 Obtenemos: (.62646484)10  (.424)7

Sistemas de Numeración Conversión de potencias de 2 Para convertir números de base 2 a base k, donde k puede expresarse como una potencia de 2, es decir, k=2x donde x>1 y es un número entero, se llevan a cabo los siguientes pasos: Se agrupan de x en x los dígitos que se encuentran a la izquierda del punto, comenzando a partir de él y aumentando ceros a la izquierda cuando es necesario. Se agrupan de x en x los dígitos que se encuentran a la derecha del punto comenzando a partir de éste y aumentando ceros a la derecha cuando sea necesario. Se sustituyen los grupos por los dígitos correspondientes en la base k. Ejemplo: (1110010100.011011)2  ( )16 Donde 16=24 0011 1001 0100 . 0110 1100 Resultado: 3 9 4 6 C (1110010100.011011)2  (394.6C)16 Se agregaron dos ceros

Sistemas de Numeración Conversión de potencias de 2 Para convertir números de base k=2x a base 2, se sustituye cada dígito en base k por los x dígitos binarios correspondientes. Ejemplo: (7402.61)8  ( )2 Donde 8=23 7 4 0 2 . 6 1 Resultado: 100 000 010 110 001 (7402.61)8  (111100000010.110001)2 Operaciones aritméticas en diferentes bases Base 2 Suma 1 1 1 101101 +10110 1000011 + 1 10 Carry o acarreo

Sistemas de Numeración Resta 101101 - 10110 010111 - 1 1 1 1 Borrow (deber uno) Multiplicación 101101*1101 101101 000000 101101_______ 1001001001 1 1 1 1 * 1 1 1 División ___1000001 1101010110 -1101 0000010110 - 1101 01001 / 1 e

Sistemas de Numeración + 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 1A 1B 1C 1D 1E Tabla de Suma en base 16 (hexadecimal)

Sistemas de Numeración * 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F 10 12 14 16 18 1A 1C 1E 15 1B 21 24 27 2A 2D 20 28 2C 30 34 38 3C 19 23 32 37 41 46 4B 36 42 48 4E 54 5A 31 3F 4D 5B 62 69 40 50 58 60 68 70 78 51 63 6C 75 7E 87 64 6E 82 8C 96 79 84 8F 9A A5 90 9C A8 B4 A9 B6 C3 C4 D2 E1 Tabla de Multiplicar en base 16 (hexadecimal)

Sistemas de Numeración Aritmética con signo Sea R la base y n el número de casillas o posiciones, entonces Rn es el total de números sin signo que se pueden representar en base R. Por ejemplo. Con R=2 n=3 el total de números que pueden ser representados en base 2 utilizando 3 casillas son 8 y el rango es {0,7}, los números son {000, 001, 010, 011, 100, 101, 110, 111}. { 0 , 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 } Forma general: rango = { 0, Rn-1} Para números con signo, es necesario utilizar una casilla (la primera) para indicar si el número es negativo o positivo. Para el ejemplo anterior, el total de números con signo que podrían representarse serían 8, 4 positivos y 4 negativos, ya que la primera casilla indica el signo del número, si contiene un 0 es positivo y si contiene un 1 es negativo. Entonces el rango es {-3,3} y los números son {011,010,001,000,100,101,110,111}. { +3 , +2 , +1 ,+0 , -0 , -1 , -2 , -3 } (Signo y magnitud) En general el rango para cualquier base utilizando números con signo es {-(Rn-1-1),(Rn-1-1)}

Sistemas de Numeración Complemento El complemento es una forma de representar números negativos. Si la base es 2, existen dos clases de complementos: complemento a 1 y complemento a 2. Complemento a 1. Se obtiene cambiando 1’s por 0’s y 0’s por 1’s. Ejemplo: Sea el número 00111100, su complemento a 1 es: 11000011. Complemento a 2. Se aplica complemento a 1 al número y luego se suma 1 al resultado. Ejemplo: Sea el número 0110110 aplicando complemento a 1 obtenemos: 1001001, después se le suma 1, obteniéndose 1001010 Algoritmo de suma utilizando la representación de números negativos mediante signo y magnitud. Sean anan-1…a0 y bnbn-1…b0 2 números binarios con signo y magnitud. Tienen signos iguales ? (an=bn) Si: sumar magnitudes quedando el resultado en cn-1cn-2…c0 , cn  bn  an No: Comparamos magnitudes y dejamos en cn el signo del mayor. Restamos a la magnitud mayor la menor y el resultado queda en cn-1cn-2…c0

Sistemas de Numeración 3. La magnitud de cn-1cn-2…c0 excede el rango ? Si: Indicar error (overflow – sobreflujo) No: El resultado esta en cncn-1…c0 Ejemplo: Obtener el resultado de las siguientes sumas binarias a 4 dígitos 1) 5+(-3)=0101+1011 Los signos son diferentes, y la magnitud del primer número es > que la del segundo, así que restamos 011 de 101 y el signo del resultado será positivo =0010 Su equivalente decimal es 2 2) (-4)+(-6)=1100+1110 Los signos son iguales, así que se suman magnitudes Error ! Existe overflow Algoritmo de suma algebraica en complemento a 1 Tomar el complemento a 1 de los números negativos Sumar los operandos Existe carry? Si: sumar 1 al resultado Existe overflow? Si: indicar error No: Escribir el resultado +100 1110 1010 Overflow Nota: El Overflow se genera cuando ya no hay lugar para un dígito más. En base binaria corresponde a un cambio de signo

Sistemas de Numeración Ejemplo: Utilizar 4 dígitos (-4) + (-3)= (0100)c1+(0011)c1= 1011+1100= 1 0111 Existe carry =0111+1=1000 No existe overflow Algoritmo de suma algebraica en complemento a 2 Tomar el complemento a 2 de los números negativos Sumar los operandos Existe overflow? Si: mensaje de error No: Se toman las primeras n posiciones de derecha a izquierda como resultado ignorando el carry si es que lo hay. Ejemplo: (4 dígitos) 7+(-5)= 0111+(0101)c2= 0111+1011= 1 0010 Existe carry, así que el resultado es 0010

Conceptos básicos Diagramas de flujo Un diagrama de flujo es una representación detallada en forma gráfica de los pasos a seguir para la solución de un problema. Símbolos Ejemplo. Diagrama de flujo que obtiene la multiplicación de 2 números enteros positivos mediante sumas sucesivas Entrada 1 Salida Inicio Condición no “Dame 2 numeros:” a > 0 si Llamado a rutina s  s+b a  a-1 a,b Líneas de flujo s 0 “R=”, s Conector Inicio/fin 1 Fin Proceso

Conceptos básicos Operaciones Lógicas Son aquellas que dan como resultado verdadero o falso. Donde V es equivalente a 1 y F es equivalente a 0. Para trabajar con este tipo de operaciones se utilizan tablas de verdad. Las operaciones lógicas básicas son: Negación (not). Consiste en obtener el complemento a 1 del operando Conjunción (and). La expresión es verdadera solo si todos sus operandos son verdaderos. Disyunción (or). La expresión es verdadera si al menos uno de sus operandos es verdadero. p q p and q v f p q p or q v f p ~p v f Negación Conjunción Disyunción