Distinguir y realizar los cálculos con las operaciones matriciales básicas. Las operaciones matriciales permiten el abordaje de los métodos del álgebra lineal para resolución de sistemas de ecuaciones. 30 minutos.

Las operaciones matriciales básicas son

Dada una matriz de tamaño m x n, A = (a i j), se llama matriz transpuesta de A, y se representa por A t, a la matriz que se obtiene cambiando las filas por las columnas (o viceversa) en la matriz A. a 11 a 12 …a 1n a 21 a 22 …a 2n.... a m1 a m2 …a mn A =A = a 11 a 12 …a 1m a 21 a 22 …a 2m.... a n1 a n2 …a mn A t =

1ª. Dada una matriz A, siempre existe su transpuesta y además es única. 2ª. La transpuesta de la matriz transpuesta de A es A.  (A t ) t = A. La transpuesta de una matriz A cualquiera se obtiene cambiando filas por columnas y se representa por A t. Si A = (a ij ), entonces A t = (a ji ). Si A es mxn, entonces A t es nxm.

La suma de dos matrices A=(a ij ), B=(b ij ) de la misma dimensión, dan otra matriz. S=(s ij ) de la misma dimensión que los sumandos y con término genérico S = (a ij + b ij ). La suma de las matrices A y B se denota por A+B. 11/ / = 4½ + ¼ = ¾ -4-2 = AB A + B Se suman estos dos

La diferencia de matrices A y B se representa por A–B y se define como la suma de A con la opuesta de B : A–B = A + (–B) 11/ A 1/ B = NO ES POSIBLE SUMARLAS Por tanto, para poder sumar dos matrices éstas han de tener la misma dimensión. Sin embargo, no se pueden sumar matrices de tamaños diferentes.

I. Asociativa: A + (B + C) = (A + B) + C II. Conmutativa: A + B = B + A III. Elemento neutro: A + 0 = 0 + A = A donde 0 es la matriz nula. IV. Elemento opuesto: A + (– A) = (– A) + A = 0 Sean A, B y C tres matrices del mismo orden. Entonces: V. La matriz –A (opuesta) se obtiene cambiando de signo los elementos de A. VI. Si A + C = B + C  A = B VII. Si kA = kB  A = B si k es distinto de 0 VIII. Si Ka = hA  H = K SI a es distinto de 0

I. Para la matriz A, (A t ) t = A II. Para las matrices A y B, (A + B) t = A t + B t III. Para la matriz A y el número real k, (k. A) t = k. A t IV. Para las matrices A y B, (A. B) t = B t. A t V. Si A es una matriz simétrica, A t = A Propiedades: A =A = A t = Se invierte su posición

Para multiplicar un número real por una matriz, se multiplican cada uno de los elementos de la matriz por dicho número. Si A = (a ij ), entonces kA = (ka ij ) a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33 (k)(a) = (k)(a ij ) = k= = (ka ij ) ka 11 ka 12 ka 13 ka 21 ka 22 ka 23 ka 31 ka 32 ka 33

10 21/ /7 (3)= (3)(1)(3)(0)(3)(-1) (3)(2)(3)(1/4)(3)(9) (3)(-5)(3)(-4)(3)(5/7) / /7 Se multiplica cada uno por 3

I. Distributiva I: k(A + B) = kA + kB II. Distributiva II: (k + h)A = kA + hA III. Elemento neutro: 1 · A = A IV. Asociativa mixta: k(hA) = (kh)A Sean A y B dos matrices del mismo orden y k y h dos números reales. El conjunto de las matrices m x n con las operaciones suma y producto por un escalar antes definidas, tiene estructura de espacio vectorial

Dadas dos matrices A y B, su producto es otra matriz P cuyos elementos se obtienen multiplicando las filas de A por las columnas de B (por lo que deben coincidir éstas). De manera más formal, los elementos de P son de la forma: Es evidente que el número de columnas de A debe coincidir con el número de filas de B. Es más, si A tiene dimensión m x n y B dimensión n x p, la matriz P será de orden m x p. P ij =  a ik · b kj con k=1,….n

1. Se multiplica cada uno 2. Se suman después

¿Cuándo es posible el producto de matrices? (a ij ) m,n (b ij ) n,p = Posible filas columnas (c ij ) m,p El producto de matrices es posible cuando coincide el número de columnas de una matriz con el número de filas de la otra matriz.

I. Propiedad asociativa. Para las matrices A de dimensión m x n, B de dimensión n x p y C de dimensión p x r, tenemos que: A. (B. C) = (A. B). C II. Elemento unidad. Si A es una matriz de tamaño m x n, y las matrices identidad de orden m y n, respectivamente, se tiene: I m · A = A · I n = A

III. Propiedad distributiva a la izquierda. Para las matrices A de dimensión m x n, B de dimensión n x r y C de dimensión n x r. Tenemos que: A. (B + C) = A. B + A. C IV. Propiedad distributiva a la derecha. Para las matrices A de dimensión m x n, B de dimensión m x n y C de dimensión n x p. Se cumple que: (A + B). C = A. C + B. C Propiedad distributiva

Si A es una matriz cuadrada, las potencias de A, de exponente natural, se definen como en el caso de los números naturales: el exponente indica el número de veces que se multiplica la matriz por sí misma. A n = A. A A A n = A … A = A  A n-1 = = n- veces n n 01

11 01 A = A2 =A2 = A 2 =A  A = A2 =A2 =

Unidad 1 Matrices y Determinantes. (pp. 27 a 30) disponible en: