M. en C. René Benítez López La parábola (Versión preliminar) M. en C. René Benítez López Departamento de Matemáticas Universidad Autónoma Metropolitana-Iztapalapa

La calzada de un puente parabólico está sobre el lado recto de una parábola, cuyo vértice está a 20 m de altura por arriba de la calzada. Tomando como eje x a la horizontal que define la calzada, y como eje y al eje de simetría de la parábola, y si los extremos del lado recto están cada uno a 60 m del foco, se puede determinar la ecuación de la parábola y las coordenadas de los puntos de anclaje del puente en las orillas de la Bahía . y x

Una parábola se define como el lugar geométrico de todos los puntos equidistantes de una recta y un punto fijos. El punto fijo se llama foco y la recta fija se llama directriz de la parábola. Conocidos el foco y la directriz, la parábola se construye como sigue: Trazar Bisecar Unir F con cualquier X en L Trazar la mediatriz m de Trazar por X. Se obtiene P en 6. Para obtener más puntos, se repite lo hecho en 3, 4 y 5 con cualquier otro punto de L. n m B Foco P F p q V L D X Y directriz

¿Qué sucede con la parábola si la distancia del foco a la directriz crece? La parábola se abre ¿Qué sucede con la parábola, si la distancia del foco a la directriz decrece? La parábola se cierra ¿Es la mediatriz m de tangente a la parábola? Sí ¿Cuál es el lugar geométrico de los puntos medios de los segmentos determinados al unir el foco con los puntos de la directriz? Es la paralela a la directriz por el vértice de la parábola

La distancia del vértice V al foco F se denota con p, esto es y es igual que la distancia del vértice V a la directriz L, o sea: V L P F D p A B es lado recto de la parábola. La cuerda perpendicular al eje de simetría de una parábola por el foco, se llama lado recto de la parábola.

Si el eje de simetría de la parábola es vertical y su vértice coincide con el origen, las coordenadas del foco son la ecuación de la directriz es Por lo que, si es cualquier punto de la parábola entonces se satisfacen las siguientes relaciones: O L F(0,p) Q p x y y = -p La parábola abre hacia arriba si La parábola abre hacia abajo si

Si el eje de simetría de la parábola es vertical y su vértice es las coordenadas del foco son y la ecuación de la directriz es Por lo que, si es cualquier punto de la parábola, entonces se satisfacen las siguientes relaciones: Q p x y h k y = k - p La parábola abre hacia arriba si La parábola abre hacia abajo si

Longitud del lado recto de una parábola La longitud PQ del lado recto de la párábola adjunta, se calcula como sigue: V L F D p S R P Q Pero: Entonces:

Graficar la parábola y obtener la forma canónica de su ecuación Graficar la parábola y obtener la forma canónica de su ecuación. Además obtener la longitud del lado recto y las coordenadas del vértice y del foco de la parábola. Ejemplo 1 Solución La longitud del lado recto es:

La calzada de un puente parabólico está sobre el lado recto de una parábola, cuyo vértice está a 20 m de altura por arriba de la calzada. Tomando como eje x a la horizontal que define a la calzada, y como eje y al eje de simetría de la parábola, y si los extremos del lado recto están cada uno a 60 m del foco, determinar la gráfica y la ecuación de la parábola, y las coordenadas de los puntos de anclaje del puente en las orillas de la Bahía . Ejemplo 2 Solución Los puntos de anclaje del puente son: P Q

Si el eje de simetría de la parábola es horizontal y su vértice coincide con el origen, las coordenadas del foco son la ecuación de la directriz es Por lo que, si es cualquier punto de la parábola entonces se satisfacen las siguientes relaciones: O L F(p,0) Q p x y x = -p La parábola abre hacia la derecha si La parábola abre hacia la izquierda si

Si el eje de simetría de la parábola es horizontal y su vértice es las coordenadas del foco son y la ecuación de la directriz es Por lo que, si es cualquier punto de la parábola, entonces se satisfacen las siguientes relaciones: Q p x x = h - p y h k L La parábola abre hacia la derecha si La parábola abre hacia la izquierda si

Ejemplo 3 Graficar la parábola y obtener la forma canónica de su ecuación. Además obtener la longitud del lado recto y las coordenadas del vértice y del foco de la parábola. Solución La longitud del lado recto es:

Fin