Funciones de dos variables: Dominio de una función Curvas de Nivel Unidad 5: Funciones de varias variables Funciones de dos variables: Dominio de una función Curvas de Nivel

Motivación Suponga que la compañía de novedades A&S determina que las ganancias por dos tipos de artículos que produce son de 9 y 7 dólares la unidad ¿Qué variables intervienen en la determinación de las ganancias de la compañía? ¿Qué relación existe entre las variables anteriores?

Funciones de dos variables Una función f de variables independientes x e y es una regla que asigna a cada par ordenado (x; y) de números reales, en algún conjunto dado D, uno y sólo un número real representado por f(x; y). El dominio de la función f es el conjunto de todos los pares ordenados (x; y) de números reales para los cuales la expresión f(x; y) puede calcularse.

Ejemplo 1 Para cada una de las funciones: y Calcule, si existe: f (2, 0) y f (0, 2). Calcule, si existe: g(2; 4) y g(1,3) Halle el dominio de f y g, y represente gráficamente en el plano xy. Ejemplo 2 Dada la función , determine el dominio de la función e interprete geométricamente su resultado.

Funciones de producción de Coob-Douglas La producción Q de una fábrica con frecuencia se considera como una función de la cantidad de inversión de capital, K, y del tamaño de la fuerza laboral, L. Las funciones de producción de la forma: donde A y  son constantes positivas y 0 <  < 1 se conocen como “funciones de producción de Coob-Douglas” Q(K; L) = AK L1- 

Ejemplo 3 Suponga que en cierta fábrica la producción está dada por la función de producción de Cobb-Douglas donde K es la inversión de capital en unidades de $1 000 y L es el tamaño de la fuerza laboral en horas-trabajador. Q(K; L) = 30K1/4 L3/4 unidades, a. Calcule la producción si la inversión es $256 000 y se utilizan 10 000 horas-trabajador de mano de obra. b. Demuestre que la producción en (a.) se triplicará si se triplican a la vez la inversión de capital y la fuerza laboral.

Ejemplo 4 (aplicación) Una compañía fabrica un sistema de sonido que se puede vender ensamblado o para armar. Las funciones de demanda que relacionan los precios unitarios, A y B, con las cantidades demandadas semanalmente, x e y, de las versiones ensambladas y para armar respectivamente están dadas por: ; a) Exprese el ingreso semanal total de la compañía como función de las cantidades demandadas. b) Calcule el ingreso si en una semana se venden 100 sistemas de sonidos ensamblados y 50 para armar.

Curvas de nivel de z = x2 + y2 Definición Una curva de nivel de f en c es el conjunto de puntos (x; y) correspondiente en el plano XY que satisface f(x; y) = c y z = 3 z = 6 x z = 9

Ejemplos Grafique las curvas de nivel de la función: 1. f(x; y) = x2 – y – 1, para z = -2, z = 0 y z = 2 2. f(x; y) = y – x2, para z = -2, z = 0 y z = 2

Curva del producto constante o Isocuanta Si la producción Q(x; y) de un proceso de manufactura está determinada por los factores x e y (por ejemplo, horas de mano de obra e inversión de capital) entonces la curva de nivel se denomina Curva del producto constante o Isocuanta. Q(x; y ) = C, C >0

Curva de indiferencia Un consumidor que está considerando la compra de una cantidad de unidades de cada uno de dos artículos se asocia con una función de utilidad U(x; y), que mide la satisfacción total (o utilidad) que el consumidor obtiene al tener “x” unidades del primer artículo e “y” unidades del segundo. Una curva de nivel U(x; y) = C, C > 0 de la función utilidad se denomina curva de indiferencia y proporciona todas las combinaciones de “x” e “y” que conducen al mismo nivel de satisfacción del consumidor.

Ejemplo 1.7 Suponga que la utilidad obtenida por un consumidor de x unidades de un artículo y de y unidades de un segundo artículo está dada por la función de utilidad U(x; y) = x3/2y. Si el consumidor posee actualmente x = 16 unidades del primer artículo e y = 20 unidades del segundo, halle el nivel actual de utilidad del consumidor y trace la curva de indiferencia correspondiente.