Profesor: Carlos Pérez Lisnarda Basanta C.I.: 11170632 María Pérez C.I.: 18591969 Ambar Roa C.I.: 14387154 Desiree Rojas C.I.: 14669481 Yuneska Waldrop C.I.: 18229979 Carlos Bravo C.I.: 17839038

  Si un vehículo circulase con velocidad constante, accionando el volante a derecha o izquierda de forma uniforme, este vehículo describiría una trayectoria cuya forma sería la de una curva esto es lo que llamamos clotoide.   La clotoide Es una curva plana del tipo espiral, también se denomina espiral de Cornú, o simplemente espiral de transición.   Esta curva fue estudiada a mediados del pasado siglo, y su aplicación en proyectos de ingeniería se inició en la década de 1930, con la construcción de las primeras autopistas en Alemania y EE.UU. Al pasar gradualmente de un radio infinito, una recta, a un radio finito, presenta las siguientes ventajas: Condiciones de marcha regular. Uniforme y segura, por lo que existe menos desgaste de neumáticos. Menor consumo de combustible y frenos, pues no es necesario frenar antes de llegar a la curva. En el automóvil se experimenta. Condiciones de perspectiva regular, por lo que la visibilidad es mayor. Mejor adaptación a la topografía del terreno.

La clotoide es un espiral cuya curvatura varia proporcionalmente con la longitud, comenzando desde cero en el origen. Su forma le da la propiedad de que un móvil que la recorre a velocidad constante experimente una variación uniforme de la fuerza centrifuga. Fc = Wv2 gr La parte de la clotoide a usarse es un segmento que no permite apreciar la forma del espiral.

la fórmula de la clotoide es sencilla el producto del radio de curvatura R en un punto determinado multiplicado por la longitud desde el origen hasta ese punto es constante. L x R=Constante ; R x L= K2 La constante se denomina parámetro de la curva y se denota con K Para una clotoide de parámetro 8 L R K2 1 64 2 32 4 16 8

Todas las clotoides poseen la misma forma pero distinto tamaño, esta propiedad se llama: HOMOTECIA Las clotoides son homotéticas con K por eso se han desarrollado tablas para la clotoide unitaria K= 1 a fin de obtener valores para otra clotoide por simple relación. Las clotoides de parámetros grandes aumenta lentamente su curvatura siendo apropiada para marcha rápida de vehículo. Los parámetro pequeños aumenta rápidamente su curvatura son aptas para velocidades reducidas y para suavizar sinuosidades del trazado.

Uso de las clotoides La clotoide permite enlazar un alineamiento recto con otro circular, o viceversa; dos alineamientos rectos ó dos alineamientos circulares de igual a contrario sentido.

Continuación uso de la clotoides TRANSICIÓN DE RECTAS Y ARCOS CIRCULAR

ENLACES DE CIRCULOS CURVAS DE TRANSICIÓN

CURVAS REVERTIDAS DISTRIBUIDORES

Elementos de una clotoide PI: Punto de intersección de las tangentes. TE: Punto común de la tangente y la curva espiral.  ET: Punto común de la curva espiral y la tangente. EC: Punto común de la curva espiral y la circular. CE: Punto común de la curva circular y la espiral.  PC: Punto donde se desplaza el TE o TS de la curva circular. D: Angulo de deflexión entre las tangentes. Q : Angulo de deflexión entre la tangente de entrada y la tangente en un punto cualquiera de la Clotoide.

Elementos de una clotoide Qe: Angulo de deflexión entre las tangentes en los extremos de la curva espiral. Dc ó g: Angulo que subtiene el arco EC-CE Rc : Radio de la curva circular. R: Radio de la curvatura de la espiral en cualquiera de sus puntos. le: Longitud total de la espiral. l : Longitud de la espiral desde el TE hasta un punto cualquiera de ella. lc : Longitud de la curva circular. TL Y TC : Tangente larga y tangente corta de la espiral. Xc, Yc: Coordenadas del EC. k,p: Coordenadas del PC de la curva circular.

ECUACIONES DE LA CLOTOIDE Deflexión a una distancia L del origen

PUNTO PARAMÉTRICO 2

Donde: θ=28038º32.40

Donde se deduce lo siguiente ;

CALCULOS DE LOS ELEMENTOS DE LA CLOTOIDE >En la topografía Vp = Rc Datos: (le) es la condición RxL = Rc x Le = K2 (parámetros) Radio de curvatura una distancia L del origen. Fórmula de deflexión

Deflexión de una distancia al origen Otras formulas :

Longitud de la curva

Coordenadas cartesianas Coordenadas cartesiana de la ecuación

K = Xc - R.SenØe P = Yc - R.(1 - CosØe) La clotoide bisecta p en partes prácticamente iguales. Coordenadas polares :

Tangente total EXTERNA

LONGITUD MINIMA DE LA CLOTOIDE Un vehículo pasa de un alineamiento corto a una curva aparece repentinamente una fuerza que afecta la seguridad de la marcha y ocasiona molestias a los pasajeros, debido al empuje lateral repentino que se origina y se hace sentir.             Para superar este inconveniente, además de usarse una transición de la curvatura, su longitud debe ser adecuada para permitir al conductor de habilidad media circulando a la velocidad de proyecto, disponer de tiempo suficiente para pasar de la alineación recta a la curva sin ninguna dificultad es decir, para que la fuerza centrífuga aparezca de una manera gradual. Las normas venezolanas fijan los siguientes valores mínimos para la longitud de la Clotoide:   Le>= 30 metros Le>= 0.0522 (V3/Rc) - 6.64. VP x e (smirnoff) Le>= a x e x n a = ancho e = peralte (decimal)

S= pendiente borde exterior calzada pendiente eje. Unidades Le= mts Vp= km / h Rc= mts

Transición en el peralte

Para el ancho de rotación de 1 canal (carreteras de dos canales )

Ejercicio nº 1 > De acuerdo a los siguientes datos dados Ejercicio nº 1 > De acuerdo a los siguientes datos dados determinar: Datos: Rc=250mts ∆=40º Incógnitas: a)K, θe, Xc, Yc, Øe, k, p, Cl, Tl, Tc, Tt, E, Lc, Γ b) Coordenadas de P1 a 45mts de Te

Solución: Por tablas tenemos que: Vp=100km/h → Rmin = 350m, por lo tanto Lcmin = 90 K= R x l R=Rc Lc=le K=Rc x le K=√250 x 90 K=150 Θe = 90 / 2(250) = Θe = 0,18 Θe = 0,18 x 180º / π → Θe = 10º18´47,67´´ X = l (1 - Θ² /5x2! + Θ / 9x4! – Θ / 13x6! + ………) El ángulo que se utiliza en la formula para calcular Xc es en radianes. Xc = 90(1 – (0,18)² / 10 + (0,18) / 216 – (0,18) / 9360 +……) Xc = 89,709 mts.

Yc = 90(0,18/ 3-(0,18) / 42+(0,18) /1320–(0,18) / 75600 +...) Yc = 5,388mts. Xc = 89,709 mts Te X Θe = 10º18´47,67´´ Cl Ec Yc = 5,388mts. Y

La cuerda larga son coordenadas polares del punto Ec. Cl = Xc + Yc Cl = (89,709) + (5,388) Cl = 89,871 mts. Øe = arc tang (Yc / Xc ) Øe = arc tang.(5,388 / 89,709) Øe = 3º 26´13,58´´ k = Xc – Rc * Sen Θe k = (5,388) – 250 * sen 10º18´47,67´´ k = 44,952 mts. p = Yc – Rc (1 – cos Θe) p = 5,388 – 250 (1 – cos 10º18´47,67´´) p = 1,349 mts. Tl = Xc – Yc cotg Θe Tl = 89,709 – 5,388 (cotg 10º18´47,67´´) Tl = 60,100 mts. Tc = Yc / Sen Θe Tc = 5,388 / sen 10º18´47,67´´ Tc = 30,096 mts.

Tt = k + (Rc + p) * tang. ∆/2 Tt = 44,952 + (250 + 1,349) tang. 20º Tt = 136,435 mts. E = Rc [sec (∆/2) - 1] + p sec (∆/2) E = 250 [sec (20º) - 1] + 1,349 sec (20º) E = 17,480 mts. ∆ = 2 Θe + Γ *despejando Γ , tenemos que: Γ = 40º - 2 (10º18´47,67´´) Γ = 19º22´24,66´´ Lc = Rc x Γ (π / 180º) Lc = 250 x 19º22´24,66´´ (π / 180º) Lc = 84,533 mts. Lc / 2 = 84,533 / 2 Lc / 2 = 42,267mts.

Ejercicio nº 2 Datos: 2 canales de 3,30m c/u Vp= 80Km/h e= 9.5% Incógnitas: Lmin clotoide Progresivas Elementos Coordenadas Cartesianas y Polares de P1 ( 5+040) Coordenadas Geográficas ET y P1 Ec CE Rc clotoide clotoide

Solución Azv1-v2: 36º38’46’’ Azv2-v3: 73º30’ 53” V2= Norte: 4000 ; Este: 5000 Rc= 220m ( por el eje de rotación) Po= 319.226m antes de V2 Progresivas: 4+661.449 Lmín> 30m Lmín> a*n*e Lmín> 3.30*0.095*200= Lmín>62.700 n= 200/3 +5/3 Vp n= 200/3 + 5/3 *80km/h n= 200 3) Lmín> 0.0522 Vp /Rc – 6,64 * Vp * e Lmín> 0.0522 (80 Km/h)/220 – 6,64 * 80 km/h * 0,095 Lmín> 121,4836 – 50,464 Lmín> 71,020 le= 71.020m

Rc= 220m l / r = 71,020 / 220= 0,322818 Valor mas próximo l / r= 0.322624 Ajustar los valores originales l = 0.568 le/Rc= 0.322624 le= 0.322624*220 le= 70.977

Con los siguientes datos obtenemos los elementos de la clotoide en la tabla: Datos Valores de la tabla le= 70.977 Rc= 220 l/r= 0.322624 l= 0.568 K= Valor real Valor unitario K= 220 1.760563 K= 124,960 le= 0.568 Le=70,977 Θ= 9º14’33 ” Θe=9º14’33” ” x= 0.566524 Xc= 70,793 y= 0.030485 Yc= 3.809 k= 0.283754 K= 35.458 r= 1.760563 Rc= 220 c= 0.567343 CL= 70.875 Ø= 3º4’49” Øe=3º4’49”

TL= 70,793 – 3,809 cotg 9º14’33”= TL= 47,386 TC= 3,809/ sen 9ª14’33”= TC=23, 715 Tt= 35.458 +( 220 +0.953 ) * tang (36ª52’7” / 2)= Tt= 109,106 E= 220 ( Sec ( 36º52’7” / 2) – 1) + 0.953 Sec (36º52’7” / 2)) E= 11,899 + 1,005 ; E= 12,904 γ= 36º52’ 7” – 2( 9º14’33”) ; γ= 18º23’1” Δ=73º- 36º Δ= 36º52’7” Lc= 220 *18º23’1” (Π / 180º)= 70,588 Ttotal= 2( 70,977) + 70,588 Ltotal= 212,542 Lc/ 2= 35,294 N N 36º 36ª

N Δ=36º52’7” 109,106 ET CE EC TE Po Po= 4+661,449 319,226m antes de V2 Po- Te= 319,226m -109,106m= 210,120m Progresivas TE= 4661,449 + 210,120= TE= 4+871,569 EC= 4871,569 + 70,977= EC= 4+942,54 Cc= 4942,546 + 35,294= Cc= 4+977,840 CE= 4942,546 +35,294= CE= 5+013,134 ET= 5013,134 + 70,977= ET= 5+084.111

ø ø =1º12’12” ø =1º12’12” Progresiva P1 5+040 l1= P1- ET= 44,111 Θ1= l1 / 2k= (44,111)x(180/ π)= 2(124,960) Θ1= 3º34’11.3” Se ajusta según la tabla: Θ1=3º36’37” ø X1 ET Cl Y1 L1=√ Θ1 * 2k *(180/ π)= ; L1=√ 3ª36’37” * 2(124,960)* (180/ π) L1= 44,360 l unitario= l/k= 44,111/ 124,960 = 0,353 se ajusta según la tabla l= 0.355 l= 0.355 l= 44.361 X=0.354860 X=44,343 y= 0.007544 Y= 0.931 c= 0.354937 C=44.353 ø =1º12’12” ø =1º12’12” Se multiplican Por k=124,960

¡¡Gracias por su atencion!!